Grenzwertbestimmung (2 Veränderliche)

13.09.2015, 20:25

xaffdur2

Grenzwertbestimmung (2 Veränderliche)

Meine Frage:
Hi,

Eine kleine Frage:
Ich bin heute über folgende Aufgabe gestolpert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 y \to 2} \frac{sin(xy)}{3x} \end{eqnarray*}$
Leider kam ich mit meinen Ansätzen nicht auf die Lösung 2/3.
Könntet ihr mir hier eventuell auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank schon einmal!

Meine Ideen:
substitution von xy=x=t dann l'hospital

13.09.2015, 20:29

Captain Kirk

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 y \to 2} \frac{sin(xy)}{3x} =\lim_{x \to 0} \frac{sin(2x)}{3x} \end{eqnarray*}$
und jetzt den bekannten $\begin{eqnarray*} \frac{sin x} {x} \end{eqnarray*}$ Grenzwert gegen 0 anwenden.

13.09.2015, 20:40

xaffdur

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danke, is das immer so erlaubt, dass man für die Betrachtung gegen Konstanten einfach eine Variable auflöst?

13.09.2015, 21:00

Captain Kirk

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Ich mach folgendes:
$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 2} sin(xy) =sin (x\lim_{y \to 2} y) \end{eqnarray*}$ da sin(x.) stetig ist.

13.09.2015, 21:12

Guppi12

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Das kann man mMn. so nicht machen, denn $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0,y\to2} \end{eqnarray*}$ ist etwas anderes als $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\lim_{y\to2} \end{eqnarray*}$ . Vergleiche zum Beispiel mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x,y\to 0}\frac{\sin(xy)}{x^2} \end{eqnarray*}$ . Da würde man mit dieser Methode einen Grenzwert erhalten, der eigentlich nicht existiert.

13.09.2015, 21:59

Captain Kirk

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Zitat:

denn $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0,y\to2} \end{eqnarray*}$ ist etwas anderes als $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\lim_{y\to2} \end{eqnarray*}$ .

Sofern Ersterer existiert muss er mit Zweiterem übereinstimmen.

Noch eine Alternative, falls überhaupt noch Interesse besteht:
$\begin{eqnarray*} \frac{sin(xy)}{3x} =\frac{sin(xy}{xy} \cdot\frac{y}{3} \end{eqnarray*}$

13.09.2015, 22:42

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Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

denn $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0,y\to2} \end{eqnarray*}$ ist etwas anderes als $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\lim_{y\to2} \end{eqnarray*}$ .

Sofern Ersterer existiert muss er mit Zweiterem übereinstimmen.

(A) $\begin{align*} \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=\alpha \end{align*}$

(B) $\begin{align*} \lim_{x\to0}\,\bigl(\lim_{y\to0}\,f(x,y)\bigr)=\alpha \end{align*}$

"Wenn (A) gilt, dann ergibt (B) im allgemeinen keinen Sinn, da der innere Limes (bezueglich y) gar nicht zu existieren braucht. Ersetzt man diesen jedoch durch lim sup oder lim inf, dann gilt in beiden Faellen (B). Dass aber umgekehrt aus (B) nicht (A) zu folgen braucht, zeigen einfache Beispiele (man setze etwa f=0 fuer |x|<=|y| und fuer y=0 und f=1 sonst)."

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