Z/nZ zyklisch |
14.09.2015, 12:14 | Hubur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Z/nZ zyklisch Hallo liebes Matheboard, ich versuche gerade folgenden Satz zu beweisen und komme nicht weiter: Z/nZ ist zyklisch genau dann, wenn n \in {2,4,p^r,2p^r} Meine Ideen: Für n=2 und n=4 ist es leicht zu zeigen. Außerdem ist \varphi(2p^r) = \varphi(p^r). Dafür muss ich doch einen Erzeuger angeben, weiß aber nicht wie das passieren soll. Außerdem weiß ich nicht, wie man zeigen kann, dass die Aussage für n = p*q, mit 2<p<q nicht gilt. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich weiter machen kann? |
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14.09.2015, 12:46 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, , genauer ist zyklisch für beliebige n Du betrachtest hier
Wofür? Der chinesische Restsatz ist hier an einigen Stellen sehr nützlich. Zeige für p>2: Ist eine Primitvwurzel modulo so ist oder eine modulo Zeige für k>2: bzw. schau nach was ihr davon bereits bewiesen habt. |
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14.09.2015, 13:02 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sämtliche Elementordnungen in sind offenbar Teiler des Carmichael-Funktionswertes . Für ist aber , also existiert dort kein Element mit Ordnung . |
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14.09.2015, 13:27 | Hubur1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah ok, das ist gut. Und wie genau begründe ich das für k=1, also warum ist Z/pZ* immer zyklisch? Es ist mir bewusst, dass so so ist, da es insbesondere auch ein Körper ist, aber wie begründe ich dies sauber? @HAL 9000 Ok, ich denke aber, dass man dann beweisen sollte, dass diese Eigenschaft für die Carmichael-Funktionswerte zutrifft oder kann man das voraussetzen (also zB dass \lambda(n) < \varphi(n))? |
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14.09.2015, 13:39 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ganze hängt halt massiv davon ab was ihr schon bewiesen habt. Wenn man alles hier direkt beweist wird der Beweis durchaus etwas länglich.
Am einfachsten ist es wphl über den Satz, dass für jeden Körper K, endliche Untergruppen von K* zyklisch sind. |
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14.09.2015, 13:56 | Hubur1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich versuche den Beweis in meiner Freizeit zu machen, hat also nichts mit irgendeiner Vorlesung etc zu tun. Bisher habe ich mir nur ein bisschen grundlegende Gruppentheorie notiert, also Satz von Lagrange, Satz von Euler und den Struktursatz über endl. abelsche Gruppen. Körpertheorie wollte ich eigentlich nicht noch in den Beweis mit einbringen. Dann wird der Beweis sicher von ansehnlicher Länge? ^^ |
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14.09.2015, 14:08 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das langt auch.
Brauchts auch nicht. (genaugenommen gilt die Aussage auchn bereits für Integritätsringe) Die Idee ist es sich ein geeignetes Polynom anzuschauen so dass o.B.d.A. die Elemente der Untergruppe Nullstellen sind. |
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