Z/nZ zyklisch

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Hubur Auf diesen Beitrag antworten »
Z/nZ zyklisch
Meine Frage:
Hallo liebes Matheboard,
ich versuche gerade folgenden Satz zu beweisen und komme nicht weiter:
Z/nZ ist zyklisch genau dann, wenn n \in {2,4,p^r,2p^r}

Meine Ideen:
Für n=2 und n=4 ist es leicht zu zeigen. Außerdem ist \varphi(2p^r) = \varphi(p^r). Dafür muss ich doch einen Erzeuger angeben, weiß aber nicht wie das passieren soll. Außerdem weiß ich nicht, wie man zeigen kann, dass die Aussage für n = p*q, mit 2<p<q nicht gilt.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich weiter machen kann?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

, genauer ist zyklisch für beliebige n
Du betrachtest hier

Zitat:
Dafür muss ich doch einen Erzeuger angeben

Wofür?

Der chinesische Restsatz ist hier an einigen Stellen sehr nützlich.
Zeige für p>2:
Ist eine Primitvwurzel modulo so ist oder eine modulo
Zeige für k>2:

bzw. schau nach was ihr davon bereits bewiesen habt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hubur
Außerdem weiß ich nicht, wie man zeigen kann, dass die Aussage für n = p*q, mit 2<p<q nicht gilt.

Sämtliche Elementordnungen in sind offenbar Teiler des Carmichael-Funktionswertes . Für ist aber , also existiert dort kein Element mit Ordnung .
Hubur1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Captain Kirk
Zeige für p>2:
Ist eine Primitvwurzel modulo so ist oder eine modulo


Ah ok, das ist gut. Und wie genau begründe ich das für k=1, also warum ist Z/pZ* immer zyklisch? Es ist mir bewusst, dass so so ist, da es insbesondere auch ein Körper ist, aber wie begründe ich dies sauber?

@HAL 9000
Ok, ich denke aber, dass man dann beweisen sollte, dass diese Eigenschaft für die Carmichael-Funktionswerte zutrifft oder kann man das voraussetzen (also zB dass \lambda(n) < \varphi(n))?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Das ganze hängt halt massiv davon ab was ihr schon bewiesen habt.
Wenn man alles hier direkt beweist wird der Beweis durchaus etwas länglich.


Zitat:
aber wie begründe ich dies sauber

Am einfachsten ist es wphl über den Satz, dass für jeden Körper K, endliche Untergruppen von K* zyklisch sind.
Hubur1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche den Beweis in meiner Freizeit zu machen, hat also nichts mit irgendeiner Vorlesung etc zu tun. Bisher habe ich mir nur ein bisschen grundlegende Gruppentheorie notiert, also Satz von Lagrange, Satz von Euler und den Struktursatz über endl. abelsche Gruppen.
Körpertheorie wollte ich eigentlich nicht noch in den Beweis mit einbringen. Dann wird der Beweis sicher von ansehnlicher Länge? ^^
 
 
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
also Satz von Lagrange, Satz von Euler und den Struktursatz über endl. abelsche Gruppen.

Das langt auch.


Zitat:
Körpertheorie wollte ich eigentlich nicht noch in den Beweis mit einbringen.

Brauchts auch nicht. (genaugenommen gilt die Aussage auchn bereits für Integritätsringe)
Die Idee ist es sich ein geeignetes Polynom anzuschauen so dass o.B.d.A. die Elemente der Untergruppe Nullstellen sind.
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