Integral von e^-Betrag(x) im Bereich + bis - unendl.

14.09.2015, 18:04	chrisow01	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral von e^-Betrag(x) im Bereich + bis - unendl. Meine Frage: Hallo ihr Lieben, könnte mir jemand von euch sagen wie ich die Funktion $\begin{eqnarray} \int_{-\infty }^{\infty } \! f(e^{-\|x\| } ) \, dx \end{eqnarray}$ löse? Meine Ideen: Theoretisch kann ich die Funktion ja wie folgt umschreiben: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty }^{\infty } \! f(\frac{1}{e^{\|x\| }} ) \, dx \end{eqnarray}$ So kann ich die Funktion ja wie folgt integrieren: $\begin{eqnarray} \left[\| x \| ln\| e \| \right] im Bereich +\infty bis -\infty \end{eqnarray*}$ ln\|e\| = 1, sodass \|x\| übrig bleibt. Stimmt das bis hier? Und wie verfahre ich jetzt mit dem Betrag? Es wäre toll, wenn mir das jemand erklären könnte. Vielen Dank im Voraus! Mit den besten Grüßen, Christian
14.09.2015, 18:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme mal an, dass das f() überflüssig ist, d.h., dass du in Wahrheit $\begin{align} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\|x\|} ~ \dd x \end{align}$ berechnen willst. Teile das Integral bei 0, d.h. $\begin{align} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\|x\|} ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^0 e^{-\|x\|} ~ \dd x ~+~ \int\limits_0^{\infty} e^{-\|x\|} ~ \dd x \end{align}$ In den beiden Teilintegralen gilt dann $\begin{align} x\leq 0 \end{align}$ (links) bzw. $\begin{align} x\geq 0 \end{align}$ (rechts), d.h., du kannst dort jeweils den Betrag eindeutig auflösen, und damit dann die beiden (uneigentlichen) Integrale berechnen.
14.09.2015, 18:30	chrisow	Auf diesen Beitrag antworten »
wow, das ging aber flot! Danke schonmal. das stimmt, f() gehört da nicht hin. Leider verstehe ich Lösung dennoch nicht ganz. Wenn du schreibst der Betrag kann eindeutig aufgelöst werden, heißt das, ich kann ihn einfach weglassen? Wenn ich diesen einfach weglassen würde, bekomme ich das ergebis + $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ . Als Ergebnis müsste jedoch +2 herauskommen. Über einen (etwas) ausführlicheren Lösungsweg würde ich mich freuen.
14.09.2015, 18:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
"Auflösen" heißt nicht "weglassen" - wozu wohl die Trennung bei 0 ? Bekanntlich gilt $\begin{align} \|x\| = \begin{cases} x & \;\mbox{für}\; x\geq 0 \\ -x & \;\mbox{für}\; x<0 \end{cases} \end{align}$
14.09.2015, 21:05	chrisow	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich teile das Integral auf: $\begin{align} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\|x\|} ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^0 e^{-\|x\|} ~ \dd x ~+~ \int\limits_0^{\infty} e^{-\|x\|} ~ \dd x \end{align}$ $\begin{eqnarray} = - \left[\frac{1}{e^{\| x \|} } \right]_{-\infty }^{0} - \left[\frac{1}{e^{\| x \|} } \right]_{0 }^{\infty } \end{eqnarray}$ wobei: $\begin{eqnarray} e^{-\| x \|} = e^{-\| \infty \|} = e^{-\|-(- \infty ) \|} = \frac{1}{e^{\| \infty \|}} =0 \end{eqnarray}$ somit ergibt sich: $\begin{eqnarray} =+ 1- 1 = 0 \end{eqnarray}$ aber das kann ja nicht sein, da +2 rauskommen muss.. Ich erbitte weitere Hilfestellungen
14.09.2015, 21:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach NORMAL integrieren, statt immer wieder rumzupfuschen und nach neuer (unnötiger) Hilfe zu rufen... $\begin{align} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\|x\|} ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^0 e^{-\|x\|} ~ \dd x ~+~ \int\limits_0^{\infty} e^{-\|x\|} ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^0 e^x ~ \dd x ~+~ \int\limits_0^{\infty} e^{-x} ~ \dd x = \Big[ e^x \Big]_{-\infty}^0 ~+~ \Big[ -e^{-x} \Big]_0^{\infty} = \ldots \end{align}$
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15.09.2015, 11:18	chrisow	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige, aber wie Du (vielleicht) merken konntest habe ich das Thema noch nicht ganz verstanden. Vielen Dank für Deine Hilfe!

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