Eingeschränkte Abbildung

14.09.2015, 17:23

schachtelkopf

Eingeschränkte Abbildung

Meine Frage:
Hey Leute,

haben in LA II den spektralsatz für selbstadjungierte endomorphismen bewiesen und ich verstehe einen schritt nicht.

Meine Ideen:
Und zwar: Es gilt: Sei V ein euklid.unitär. VR, dim V ist endlich-dim. T:V->V selbstadjungiert, dann gilt

Es gibt eine ONB aus Eigenvektoren von T

Beweis mittels Induktion.
wir konstruieren dann ein Vektor der ON ist und folgern das $\begin{eqnarray*} U^{\bot} \end{eqnarray*}$ Invariant unter T ist.

jetzt zu dem wo ich nicht folgen kann: wir betrachten die Abbildung T, aber eingeschränkt auf U orthogonal nach U orthogonal. also $\begin{eqnarray*} T_{|U^{\bot}}: U^{\bot} \longrightarrow U^{\bot} \end{eqnarray*}$

Und nutzen dann das gilt $\begin{eqnarray*} (T_{|U^{\bot}})(x) = T(x) \end{eqnarray*}$ und das ist genau das was ich nicht verstehe ???
wieso ist die eingeschränkte Abbildung gleich der normalen Abbildung

bitte um Hilfe

lg schachtelkopf

14.09.2015, 17:32

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

wieso ist die eingeschränkte Abbildung gleich der normalen Abbildung

Ich vermute du meinst mit normaler abbildung die abb. $\begin{eqnarray*} T: V \to V \end{eqnarray*}$ .
(Es gibt in diesem Kontext ja den Begriff "normal" für Abbildungen)
Dann stimmt dein Satz nicht, denn die zwei Abbildung haben verschiedene Definitionmengen, sind also verschiedene Abbildungen.

Dass die eine Abb. f und die Einschränkung der Abb auf eine Menge N, $\begin{eqnarray*} f |_N \end{eqnarray*}$ , auf der Menge N übereinstimmen, sprich $\begin{eqnarray*} f(x)=f |_N (x) \quad \forall x \in N \end{eqnarray*}$ ist nichts als die Definition der eingeschränkten Abbildung.

15.09.2015, 12:08

schachtelkopf

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Hey

Ja ich meine bei der normalen Abbildung $\begin{eqnarray*} T: V \longrightarrow V \end{eqnarray*}$

Wie meinst du in diesen Kontext "normal" ?
das ist ja als Voraussetzung nicht gegeben, dass $\begin{eqnarray*} T \circ T^{*}=T^{*} \circ T \end{eqnarray*}$ gilt.

leider verstehe ich das auch nicht mit der Einschränkung nicht ganz verwirrt

hier mal der ganze beweis:

$\begin{eqnarray*} n=0 \\ n-1\longmapsto n \\ \\ \Longrightarrow \exists \ \beta_1 von T \Longrightarrow \exists x_1 \in V : Tx_1=\beta_1x_1 \ ,x_1 \ne 0 \\ \\ Sei \ \phi_1 := \frac{x_1}{\Vert x_1 \Vert} \ , \Vert \phi _1 \Vert =1 \ \Longrightarrow T \left ( \frac{x_1}{\Vert x_1 \Vert} \right ) =\frac{1}{\Vert x_1 \Vert}T(x_1)= \beta_1 \left (\frac{x_1}{\Vert x_1 \Vert} \right ) \\ \\ \Longrightarrow T \phi_1 =\beta_1 \phi_1 \\ \\Sei \ U:=[\phi_1] \ ,dimU=1 \ da \ \phi_1 \ EV \ von \ T \Longrightarrow U \ ist \ T-Invariant \ \Longrightarrow U^{\bot} \ ist \ T-invariant \\ \end{eqnarray*}$

Betrachte jetzt die Einschränkung von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} U^{\bot} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dh: T_{|U^{\bot}} : U^{\bot} \longrightarrow U^{\bot} \ ,(T_{|U^{\bot}})(x)=T(x) \\ \\ Sei \ x,y \in U^{\bot} \\ \\ \langle (T_{|U^{\bot}})(x) | y \rangle = \langle T(x) |y \rangle = \langle x|T^{*}(y) \rangle = \langle x|(T_{|U^{\bot}})(y) \rangle \Longrightarrow (T_{U^{\bot}})^{*}=T_{|U^{\bot}} \\ \\ dimU^{\bot}=dimV - dim U=n-1 \\ \\ nach \ VO: \exists \ ONB \ \phi_2 ,..., \phi_n \ mit \ \phi_2 ,..., \phi_n \ EV \ von \ T_{|U^{\bot}} \\ \\ \phi_2 ,..., \phi_n \in U^{\bot} : \exists \ \beta_2 ,..., \beta_n \in \mathbb{R} : (T_{|U^{\bot}})(\phi_i)=\beta_i \phi_i \ , 2 \le i \le n \\ \\ \Longrightarrow T(\phi_i)=\beta_i \phi_i \ , 2 \le i \le n \\ \\ \\ \ da \ \phi_2 ,..., \phi_n \in U^{\bot} \Longrightarrow \langle \phi_1|\phi_i \rangle =0 \ , \forall \ 2\le i \le n \\ \\ T(\phi_1)=\beta_1\phi_1 \Longrightarrow \phi_1 ,..., \phi_n \ EV \ von \ T \ und \ \lbrace \phi_1 ,..., \phi_n \rbrace \ ONB<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

aber wenn die Abbildung nicht gleich ist dann wäre ja der beweis falsch ?

15.09.2015, 12:16

Captain Kirk

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Zitat:

das ist ja als Voraussetzung nicht gegeben, dass $\begin{eqnarray*} T \circ T^{*}=T^{*} \circ T \end{eqnarray*}$ gilt.

Doch: selbstadjungierte Abbildungen sind normal.

Zitat:

leider verstehe ich das auch nicht mit der Einschränkung nicht ganz verwirrt

Da ist nicht wirklich was zu verstehen, das ist eine Defintion. Und zwar die der eingeschränkten Abbildung.

15.09.2015, 12:25

Captain Kirk

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Was ich nicht verstehe:
Wieso schreibst 'ne halbe Ewigkeit den ellenlangen Beweis nieder (wozu eigentlich?), meldest dich aber direkt danach ab ohne eine Antwort abzuwarten?

15.09.2015, 12:27

schachtelkopf

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weil ich was essen gegangen bin Augenzwinkern

danke dir für die Hilfe Freude

15.09.2015, 12:31

Captain Kirk

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Dann ist ja gut wenn jetzt alles klar ist.

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