Klassifikation partieller DGLs |
| 15.09.2015, 09:24 | nutella1987 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Klassifikation partieller DGLs Folgende partielle DGL soll klassifiziert werden (nach elliptisch, hyperbolisch, parabolisch): uxx ? uyy + uzz ? uww = ux + uy + uz + uw Meine Ideen: Ich habe jetzt eine Deteminante aus folgender Matrix berechnet: 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 det(A)=1 --> weil det(A)>0 ist die DGL elliptisch In der Lösung gehen sie aber anders vor. Ausnahmsweise wird hier mal keine Determinante gebildet sondern sie berachten die Eigenwerte L-1 0 0 0 0 L+1 0 0 0 0 L+1 0 0 0 0 L-1 --> wir haben zwei Mal den Eigenwert 1, zwei Mal den Eigenwert -1 --> Das widerspricht den Definitionen von elliptisch, parabolisch und hyperbolisch, also ist die DGL weder noch. Mein Problem: Woran erkenne ich dass ich die Eigenwerte berechnen muss? Ich dachte immer man kann entweder den Weg über die Eigenwerte ODER den Weg über die Determinante wählen. Und da die Eigenwerte länger dauern würde ich auch eher zur Determinante tendieren. Es gibt leider für diese Klausur keine Sprechstunden und deshalb wäre ich über schnelle Antworten dankbar! |
||
| 15.09.2015, 14:04 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zur Klassifizierung von partiellen Differenzialgleichungen 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten muss man die Vorzeichen der Eigenwerte der Koeffizientenmatrix der 2.Ableitungenn untersuchen. Diese Eigenwerte können auch verschwinden. Nur im Spezialfall der Dimension n=2 (also wenn die gesuchte Funktion u(x,y) nur von 2 Variablen x,y abhängt) kann man zur Klassifizierung die Determinante verwenden, denn aus dem Vorzeichen der 2x2-Determinante lassen sich Rückschlüsse auf die Vorzeichen dieser Eigenwerte ziehen. Entscheidend sind aber immer die Vorzeichen bzw. das Verschwinden der Eigenwerte. -------------- Die Rechnung bei der Klassifizierung von Dgl. läuft übrigens wie bei der Klassifizierung von Quadriken. Auch dort kann man im Fall n=2 die Determinante verwenden, um zu entscheiden, ob es sich um eine Ellipse, eine Hyperbel, eine Parabel usw. handelt. Bei beliebiger Dimension n>2 benötigt man aber auch hier die Eigenwerte, um zu entscheiden, ob es sich um einen Ellipsoid, einen Hyberboloid, einen Paraboloid usw. handelt. Aus dieser Analagie zur Geometroe stammen übrigens die Namen "elliptische" Dgl., "hyperpolische" Dgl, "aarabolische" Dgl. usw. |
||
| 15.09.2015, 15:03 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da ich wieder mal so seltsam viele Fragezeichen erblicke: Um welche DGL geht es eigentlich genau, vielleicht um ? 
|
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
