Produkte messbarer Räume

15.09.2015, 10:43	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkte messbarer Räume Meine Frage: Hallo Leute, in der Vorlesung zur W-Theorie haben wie Produkte messbarer Räume betrachtet. Wir wollten dann vernünftige $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ - Algebren auf ihnen finden. Wir haben ja bei dieser Konstruktion schon die kanonischen Projektionen, die natürlich messbar sein sollen. Also sollte eine vernünftige $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ - Algebra zumindest mal die Urbilder der $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ - Algebren aus den einzelnen Räumen beinhalten. Da die Vereinigung davon noch keine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ - Algebra ist, verwenden wir zur Konstruktion für die $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ - Algebra auf dem Produktraum noch den $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ Operator. Wir erhalten also folgendes: Seien $\begin{eqnarray} (\Omega_i, \mathcal A_i) \end{eqnarray}$ messbare Räume für $\begin{eqnarray} i \in I \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \Omega = \prod_{i \in I} \Omega_i \end{eqnarray}$ der Produktraum. Seien $\begin{eqnarray} \pi_i : \Omega \to \Omega_i \end{eqnarray}$ die kanonischen Projektionen auf die $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ te Komponente. Dann ist die Produktsigmaalgebra $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ definiert als: $\begin{eqnarray} \sigma (\bigcup_{i \in I} \pi_i^{-1}(\mathcal A_i)) \end{eqnarray}$ (Aus topologischer Sicht, ich weiß nicht ob man das hier auch so sagt , ist das die gröbste $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ - Algebra bezüglicher derer alle Projektionen messbar sind. Im Grunde eine spezielle Form der Initial - Sigma - Algebra.) Nun meine Frage: Für welche Indexmengen $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ funktioniert diese Konstruktion? Darf ich hier tatsächlich beliebige Produkte bilden? Oder nur abzählbare, oder gar nur endliche? Meine Ideen: Viele Ideen habe ich da nicht dazu. Für endliche geht es auf jeden Fall. Im Grunde auch für abzählbare und beliebige Produkte, es ist ja nur eine Definition und noch kein Satz der zutreffen könnte oder nicht unter bestimmten Voraussetzungen. Nach dieser Definition folgt ein Lemma (universelle Eigenschaft der Produktsigmaalgebra). Ich nehme an, dass analog zur Topologie auch hier das ganze für beliebige Produkte gilt. Stimmt das? Viele Grüße Stevie
15.09.2015, 11:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt für beliebige Indexmengen. Diese $\begin{align} \sigma(\ldots) \end{align}$ - Konstruktionen basieren ja auf zwei Eigenschaften: - Der Durchschnitt beliebig vieler (auch überabzählbar vieler) Sigma-Algebren ist wieder eine Sigma-Algebra - Die Potenzmenge $\begin{align} \wp(\Omega) \end{align}$ geht mit in die Durchschnittsbildung ein, also hat man schon mal mindestens eine Damit kann man für beliebige Mengensysteme $\begin{align} \subseteq \wp(\Omega) \end{align}$ diese kleinste (oder gröbste) Sigma-Algebra definieren, die dieses Mengensystem enthält. D.h., aus Definitionssicht kein Problem. Nur "vorstellen" kann man sich dieses $\begin{align} \sigma(\ldots) \end{align}$ oft nicht, d.h., im konstruktiven Sinne.
15.09.2015, 11:06	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Wunderbar. Vorallem, dass es so viele parallelen zwischen der Topologie und der W-Theorie gibt
15.09.2015, 11:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht verwunderlich: Ein W-Maß ist ja nichts anderes als ein ganz normales endliches Maß mit $\begin{align} \mu(\Omega)=1 \end{align}$ .
15.09.2015, 11:20	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das ist klar, aber zum Beispiel auch die universelle Eigenschaft, die diese Produkte messbarer Räume haben. Ich konnte mir das erst gar nicht merken, bis mir auffiel, dass es genau die gleiche Konstruktion ist wie in der Topologie: 1) Topologie $\begin{eqnarray} f: \hat X \to X (: = \prod X_i) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi_i: X \to X_i \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \pi_i \circ f = \hat f : \hat X \to X_i \end{eqnarray}$ ist stetig 2) W-Theorie (eigentlich Maßtheorie) $\begin{eqnarray} f: \hat X \to X (: = \prod X_i) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi_i: X \to X_i \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ messbar $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \pi_i \circ f = \hat f : \hat X \to X_i \end{eqnarray}$ ist messbar Man muss ja echt nur die Wörter stetig und messbar austauschen

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