Integration mittels Treppenfunktionen

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15.09.2015, 12:01	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration mittels Treppenfunktionen Hallo Matheboard, Ich brauche dringend Hilfe bei einer Aufgabe, ich verstehe einfach nicht, was zu tun ist bzw. wie man sie angeht... Ich soll anhand der Definition das Integral berechnen, also mithilfe von Ober- und Untersummen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! e^x \, dx \end{eqnarray}$ Als Tipp ist die geometrische Summe genannt worden. Wie berechne ich das? Habe leider keinen Ansatz... Vielen Dank schonmal im voraus. Viele Grüße Schattenklinge
15.09.2015, 12:08	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst musst du eine Partition des Intervalls $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ wählen. Welche könntest du da nehmen?
15.09.2015, 12:21	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, da könnte ich a = 0 < 1 = b nehmen, oder was genau meinst du damit?
15.09.2015, 12:27	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sollte ja möglichst fein werden, ich schlage vor, dass du zu $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ die Partition $\begin{eqnarray} \mathcal{P}_n([0,1])=\left\{ 0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\dots,\frac{n-1}{n},1=\frac{n}{n}\right\} \end{eqnarray}$ wählst. Jetzt kannst du die Definition der Ober- bzw. Untersumme nutzen.
15.09.2015, 12:34	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
ACH! So meinst du das! Was mach ich denn jetzt damit? Ich mach eine Summe, aber von was? Wie krieg ich diese Zerlegung nun rein? Ich denke mal, ich muss nur bis n-1 gehen, sonst hab ich ja keine Zerlegung mehr. Oder kann ich das 1/n irgendwie statt "e^x" einsetzen, woraus folgt "e^(1/n)"? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \end{eqnarray}$
15.09.2015, 12:39	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt doch $\begin{eqnarray} \mathcal{O}_f(P_n([0,1]))=\sum_{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)\cdot \sup_{x\in[x_k,x_{k+1}]} f(x) \end{eqnarray}$ , wobei in diesem Fall $\begin{eqnarray} x_k=\frac{k}{n} \end{eqnarray}$ gilt. Nutze dann noch die Monotone der Exponentialfunktion.
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15.09.2015, 12:45	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n-1} (x_{k+1} - x_{k}) e^{x_k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum\limits_{k=0}^{n-1} (1/n) * e^{x_k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1/n * \sum\limits_{k=0}^{n-1} e^{x_k} \end{eqnarray*}$ Ist das so richtig? Wenn ja, wie gehts weiter? :o
15.09.2015, 12:49	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du hingeschrieben hast, ist jetzt zwar die Untersumme, aber das ändert nichts. Du kannst jetzt den Hinweis nutzen.
17.09.2015, 06:48	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1-e^{x_k + 1}}{1-e^{x_k}} \end{eqnarray}$ Mir scheint das nicht so ganz richtig, was habe ich falsch gemacht?
17.09.2015, 09:46	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist auch nicht richtig, es ist doch $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{k=0}^{n-1} e^{x_k} = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=0}^{n-1} (e^{\frac{1}{n}})^k \end{eqnarray}$ .
17.09.2015, 17:48	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso ist das (e hoch 1/n) hoch k? Wo kommt das k her?
17.09.2015, 17:50	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Von dem $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ .
18.09.2015, 07:58	Schattenklinge	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, aber ich finds nicht... Wo versteckt sich es?
20.09.2015, 20:37	-Sirius-	Auf diesen Beitrag antworten »
Das $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ ist doch weiter oben definiert als $\begin{eqnarray} x_k=k/n \end{eqnarray}$ , also die Untergrenze des k-ten bzw. Obergrenze des (k-1)-ten Intervalls in [0,1]. Damit: $\begin{eqnarray} e^{x_k}=e^{k/n}=(e^{1/n})^k \end{eqnarray}$

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