Taylorreihe im Entwicklungspunkt Null

16.09.2015, 14:18

steviehawk

Taylorreihe im Entwicklungspunkt Null

Meine Frage:
Hallo Leute, ich habe mal gelesen, dass die Taylorreihe im Entwicklungspunkt Null einen speziellen Namen hat. Mir fällt er aber nicht mehr ein.. Könnt ihr mir weiterhelfen?

Meine Ideen:
Mauro Reihe oder so ähnlich, Maurice.. Big Laugh

Danke für die Hilfe

16.09.2015, 14:24

HAL 9000

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https://de.wikipedia.org/wiki/Maclaurinsche_Reihe

16.09.2015, 14:26

steviehawk

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ja genau das war es Freude

Merci

16.09.2015, 14:41

steviehawk

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Und wo wir schon dabei sind, was ich noch nicht verstehe, ist folgendes:

Warum ist die Taylorreihe einer Potenzreihe, die Potenzreihe selbst? Angenommen ich habe die Potenzreihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-a)^k \end{eqnarray*}$ mit dem Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Die Reihe sei also konvergent für $\begin{eqnarray*} |x-a| < r \end{eqnarray*}$ . Dann kann ich innerhalb des Konvergenzintervalls ja beliebig oft differenzieren. Also kann ich ja die Koeffizienten, die ich für die Taylorentwicklung brauche ausrechnen. Ich nehme einfach mal den gleichen Entwicklungspunkt wie die Potenzreihe auch hat. Also $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Für das erste Glied brauch ich $\begin{eqnarray*} f(a) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k (a-a)^k = 0 \end{eqnarray*}$

Für das zweite Glied brauche ich $\begin{eqnarray*} \frac{f'(a)}{1!} = d/dx_{|x=a} \sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-a)^k = \sum_{k=0}^{\infty} a_k k (a-a)^{k-1} = 0 \end{eqnarray*}$

Irgendwie stehe ich hier gerade total auf dem Schlauch, da kommt ja immer Null raus verwirrt

16.09.2015, 14:55

Dopap

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Zitat:

Original von steviehawk

Für das erste Glied brauch ich $\begin{eqnarray*} f(a) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k (a-a)^k = 0 \end{eqnarray*}$

na ja, das erste ( nullte ) Glied ist $\begin{eqnarray*} f(a)=a_0 \end{eqnarray*}$

das nächste Glied ist $\begin{eqnarray*} f'(a)=1 \cdot a_1 \end{eqnarray*}$

das nächste Glied ist $\begin{eqnarray*} f''(a)=1\cdot 2 \cdot a_2 \end{eqnarray*}$ ...

16.09.2015, 15:08

steviehawk

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achso, ich war also bisschen vorschnell mit der Auswertung der Reihe. Ich bekomme ja für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} |x-a|^k = |x-a|^0 = 1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Potenzreihe ableite, muss ich dann den Index unter der Reihe immer um eins erhöhen? Also:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-a)^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cdot k \cdot (x-a)^{k-1} \end{eqnarray*}$ diese Reihe muss dann ab 1 beginnen? Weil ja sonst im Exponent bei $\begin{eqnarray*} k= 0 \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ steht..

Wenn ja, dann habe ich es jetzt kapiert Hammer

16.09.2015, 15:17

HAL 9000

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Das unterste konstante Glied fällt natürlich nach dem Differenzieren jeweils weg.

16.09.2015, 15:18

steviehawk

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stimmt, damit ist es klar. Danke Wink

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