Chef fährt Beule in Taxi

16.09.2015, 16:59

nutzeeer33

Chef fährt Beule in Taxi

Meine Frage:
Ein Taxiunternehmen beschäftigt 2 Fahrer. Der Chef fährt 50%, Fahrer a 30% und Fahrer b 20%. bei 8% der Fahrten verursacht der Chef eine Beule, bei 10% Fahrer A und bei 12% Fahrer B.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Chef das Taxi gefahren ist, wenn es eine Beule hat.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} P_{B}(C)=\frac{P(C)*P_{B}(C) }{P(C)} \end{eqnarray*}$

Da komme ich auf 26,6%? Ist das richtig?

Habe allerdings noch kleine Verständnisprobleme, ich muss immer alles ganz genau verstehen, damit ich zufrieden bin. ^^

Mir ist es schon relativ klar, wie das ganze funktioniert, aber theoretisch könnte ich doch gar nicht im Zähler die $\begin{eqnarray*} P_{C}(B) \end{eqnarray*}$ berechnen, weil es doch auch eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist?

Wenn ich zumbeispiel fragen würde Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Beule drin ist, wenn der Chef gefahren ist, also
$\begin{eqnarray*} P_{B}(C) \end{eqnarray*}$ dann müsste ich ja die Formel auch umstellen und diese Bedingte Wahrscheinlichkeit extra berechnen?

16.09.2015, 17:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von nutzeeer33
$\begin{eqnarray*} P_{B}(C)=\frac{P(C)*P_{B}(C) }{P(C)} \end{eqnarray*}$

Zweifelsohne stimmt diese Identität, aber wie willst du damit die gesuchte Wkt berechnen? verwirrt

Zitat:

Original von nutzeeer33
Da komme ich auf 26,6%? Ist das richtig?

Nein, mit der richtigen Bayesschen Formel kommt ungefähr 42.5% heraus.

16.09.2015, 17:11

Mi_cha

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zunächst ist das B als Ereignis "Beule" unglücklich gewählt. Intuitiv würde man es dem Ereignis "B fährt das Taxi" interprertieren.

Die Formel stimmt nicht ganz. Im Nenner steht immer die WE-Keit der Bedingung, hier also die W-Keit dafür, dass eine Beule verursacht wurde. Und im Zähler hast du einen Buchstabendreher.

Korrekt lautet es:

$\begin{eqnarray*} P_{Beule}(C)=\frac{P(C) \cdot P_{C}(Beule)}{P(Beule)} \end{eqnarray*}$

Edit: ups, das war etwas spät Augenzwinkern

16.09.2015, 17:13

nutzeeer33

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Ich hätte jetzt gedacht, dass es nur die eine Bayessche Formel gibt??
Ausgerechnet werden muss aber $\begin{eqnarray*} P_{B}(C) \end{eqnarray*}$ oder?

Gerechnet habe ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{0,5*0,08}{0,5*0,08+0,5*0,22}= 26,6666% \end{eqnarray*}$

16.09.2015, 17:15

nutzeeer33

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Oh, merke gerade, dass ich es nur hier im Forum falsch geschrieben habe mit P(C) im Nenner da muss natürlich P(B) hin, komme aber trotzdem auf 26,666%

16.09.2015, 17:27

Mi_cha

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dein Nenner stimmt nicht.
Dort musst die totale W-Keit dafür stehen, dass das Taxi eine Beule hat. Also die Summe aus drei Einzelwahrschenlichkeiten, nämlich, dass der Chef oder Fahrer A oder Fahrer B die Beule verursacht hat.

16.09.2015, 17:34

nutzeeer33

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Ich dachte, man kann die Wahrscheinlichkeit für Fahrer B und Fahrer A zusammenfassen zu 0,5 aber es leuchtet mir gerade ein, dass das nicht geht, weil der Fahranteil untschiedlich ist, ok das macht Sinn!

Dann komme ich auf 42,55%, aber zu meiner Verständinsfrage:
Wie kann ich denn im Zähler überhaupt $\begin{eqnarray*} P_{B}(C) \end{eqnarray*}$ berechnen, bzw. muss ich es da nicht berechnen, weil es so zusagen der 2. Ast ist?
Wäre die Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray*} P_{C}(B) \end{eqnarray*}$ also, dass eine Beule im Taxi ist, wenn der Chef fährt 12,93%?

16.09.2015, 17:45

Mi_cha

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wie ich bereits oben geschrieben habe, gehört $\begin{eqnarray*} P_{B}(C) \end{eqnarray*}$ gar nicht in den Bruch, sondern $\begin{eqnarray*} P_{C}(B) \end{eqnarray*}$ ; und das ist einfach $\begin{eqnarray*} 0,08 \end{eqnarray*}$ .

Edit: Fehler verbessert

16.09.2015, 17:57

nutzeeer33

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Oh man, jetzt merke ich erst, was ich für einen Mist als erstes geschrieben habe, obwohl ich es bei mir auf dem Zettel ganz anders stehen habe Hammer

.

Also ist in diesem Fall P(C n B) nichts anderes, als $\begin{eqnarray*} P_{C}(B) \end{eqnarray*}$ , ganz einfach deswegen, weil man den Pfad vorwärts betrachten kann, bei unserer Rechnung aber nicht, weil die Bedingung erst im 2.ten Teil des Baumdiagramms steht?

16.09.2015, 18:11

Mi_cha

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hast du den Edit gelesen?

$\begin{eqnarray*} P(C\cap B) \end{eqnarray*}$ ist nicht dasselbe wie $\begin{eqnarray*} P_{C}(B) \end{eqnarray*}$ .

Das erste ist die W-keit $\begin{eqnarray*} 0,5 \cdot 0,08 \end{eqnarray*}$ und das zweite ist die W-keit, dass es eine Beule im Auto gibt, unter der Bedingung, dass der Chef gefahren ist, also 0,08 (ersichtlich aus der Angabe).

Die Formel für die bedingte W-Keit kann man auf zwei Arten formulieren

$\begin{eqnarray*} P_{B}(C)= \frac{P(C\cap B)}{P(B)}=\frac{P_{C}(B) \cdot P(C)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

16.09.2015, 18:15

nutzeeer33

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Ja, im nachhinein, macht auch Sinn. Dachte erst, dass $\begin{eqnarray*} P(C\cap B) \end{eqnarray*}$ das gleiche sei wie $\begin{eqnarray*} P(C)*P(B) \end{eqnarray*}$ , aber da es sich ja hier um bedingte Wahrscheinlichkeit handelt muss es $\begin{eqnarray*} P_{C}(B)*P(B) \end{eqnarray*}$ sein.

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