Verteilungsdichte Funktion

16.09.2015, 17:48

HiTTi

Verteilungsdichte Funktion

Hallo zusammen,

ich melde mich hier mal, weil ich in meinem Studium der Informatik zwei Frage habe.
Im Fach Informationstheorie haben wir folgende Aufgaben und ich hab keine Ahnung wie ich an die Aufgaben rangehen soll.

F(x) ist die Stammfunktion. Ich habe versucht drüber zu integrieren, was kein Sinn macht, oder?
Denn mit 0,5 wäre ja dann für jeden f(x) Wert.

Bei der zweiten Aufgabe würde ich nach C umstellen aber bringen tut mir das auch nicht wirklich was.

Evtl. einer von euch einen Tipp.

LG HiTTi

16.09.2015, 18:09

Telperien

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RE: Verteilungsdichte Funktion
Fangen wir mit der Aufgabe des oberen Bildes an. Weißt du denn, welche Anforderungen eine Dichtefunktion erfüllen muss?

16.09.2015, 18:19

HAL 9000

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Aufgabe 1 ist volkommener Humbug:

Der dort angegebenen Funktion $\begin{align*} F \end{align*}$ gehen so ziemlich alle Eigenschaften ab, die eine Verteilungsfunktion haben muss:
- Wertebereich!!! Nur Werte zwischen 0 und 1 sind erlaubt.
- Monotonie: wird an Stelle x=4 verletzt (Sprung nach unten auf 0).

Eine Vertauschung ist es auch nicht, denn die angegebene Funktion ist auch keine Dichtefunktion. unglücklich

16.09.2015, 18:20

HiTTi

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RE: Verteilungsdichte Funktion
Hallo Telperien,

super, denn die zweite habe ich gerade gelöst.

Auf deine Frage, welche Anforderungen eine Dichtefunktion erfüllen muss, habe ich keine Antwort.

LG HiTTi

16.09.2015, 18:28

Telperien

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RE: Verteilungsdichte Funktion
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f\in\mathcal{F}_d^+ \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_d^+=\{f: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}: \text{f ist Borel-meßbar}\} \end{eqnarray*}$ heißt Dichte, wenn sie Lebesque-integrierbar ist, mit
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^d} \! f(x) \, dx =1 \end{eqnarray*}$

16.09.2015, 18:52

OpaSieben

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Mich betreffen die Aufgaben ebenfalls.

Aus vorherigen Formeln können wir uns herleiten $\begin{eqnarray*} \int_{e^{-x}}^{e^x} \! C \, dx = 1 \end{eqnarray*}$
und mit dem aufgelöstem integral $\begin{eqnarray*} C = \frac{1}{e^{x}-e^{-x}} \end{eqnarray*}$ sein müsste.

Ist das soweit richtig und reicht als Lösung für die Teilaufgabe?

Das löst allerdings nicht das Problem das wir die Funktion zeichnen können, da je größer C auch der Graph auf der y-Achse weiter nach oben ausschwingt.

16.09.2015, 18:54

10001000Nick1

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@ Telperien: In deiner Definition fehlt, dass die Dichte keine negativen Werte annehmen darf.

Außerdem bin ich mir nicht sicher, ob der Fragesteller etwas mit Borel-Messbarkeit und Lebesgue-Integrierbarkeit anfangen kann, in einem

Zitat:

Original von HiTTi
Studium der Informatik

wird sowas wohl eher nicht behandelt.
Da begnügt man sich mit folgender Definition: Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt Dichte, falls $\begin{eqnarray*} f(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty \! f(x) \, dx =1 \end{eqnarray*}$ .

17.09.2015, 16:06

Telperien

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
@ Telperien: In deiner Definition fehlt, dass die Dichte keine negativen Werte annehmen darf.

Stimmt, da hab ich zwar das + drangeschrieben, aber in der Menge vergessen geschockt

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Außerdem bin ich mir nicht sicher, ob der Fragesteller etwas mit Borel-Messbarkeit und Lebesgue-Integrierbarkeit anfangen kann, in einem

Zitat:

Original von HiTTi
Studium der Informatik

wird sowas wohl eher nicht behandelt.

Ich habe meinen Bachelor auch in Informatik gemacht und da wurde sehr wohl sowas behandelt, aber ja, das mag unterschiedlich sein.

Um zur Aufgabe zurück zu kommen:
Es muss nach der Definition von Dichte gelten:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{+\infty} \! \frac{c}{e^x+e^{-x}} \, dx =1 \end{eqnarray*}$

Man kann das c als Konstante vor das Integral ziehen und hat dann
$\begin{eqnarray*} c\cdot\int_{-\infty}^{+\infty} \! \frac{1}{e^x+e^{-x}} \, dx =1 \end{eqnarray*}$

Nun gilt es das Integral zu bestimmen und dementsprechend die Konstante c zu wählen.

17.09.2015, 18:29

HiTTi

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Super Danke!

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