Marginale Haeufigkeit von zwei Zufallsvariablen

17.09.2015, 07:39	Novacaine5	Auf diesen Beitrag antworten »
Marginale Haeufigkeit von zwei Zufallsvariablen Hallo zusammen, ich stehe vor folgendem Problem: X ist eine Zufallsvariable, welche als die Summe von N unabhaengingen Bernoulli Versuchen definiert ist. Die Wahrscheinlichkeit fuer Erfolg ist als p gegeben. Die Anzahl der Bernoulli versuchen N ist wiederum eine Zufallsvariable, welche sich jedoch gemaess einer Poisson Verteilung mit dem Parameter Lambda verhaelt. Finde die Marginale Verteilungsfunction. Meine bisherigen Ansaetze habe ich angehaengt. Ich entschuldige mich vorsorglich fuer moegliche mathematisch unsaubere Ansaetze. Bin in meinem ersten Semester in Finance.. Bin fuer jeden Tipp dankbar!
17.09.2015, 08:40	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, ob das nun bloße, durch Copy+Paste bedingte Schreibfehler sind - jedenfalls muss die erste Zeile $\begin{align} P(X=x) = \sum_{n=x}^{\infty} P(X=x~{\color{red} \mid N=n})P(N=n) \end{align}$ lauten, und in der dritten Zeile sollte $\begin{align} P(N=n) \end{align}$ statt deines $\begin{align} P(N=n \mid X=x) \end{align}$ stehen. Schließlich setzt du anschließend ja auch richtig gemäß dieser korrigierten Symboliken ein! Die Umformungen danach verlaufen ein wenig ziellos - hilfreich wäre vielleicht, gleich von Anfang an eine Indexverschiebung $\begin{align} k=n-x \end{align}$ vorzunehmen, d.h. $\begin{align} P(X=x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{n!}{x!k!}p^x(1-p)^k\frac{\lambda^{k+x}e^{-\lambda}}{n!} = \frac{p^x\lambda^x}{x!} e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(1-p)^k \lambda^k}{k!} \end{align}$ .
17.09.2015, 09:20	Novacaine5	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, muss ich total uebersehen haben. Gibt es irgendeine Moeglichkeit das noch zu vereinfachen? Koennte ich per intergral den Summation operator umgehen?
17.09.2015, 09:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine kleine Nebenrechnung mit Zusammenfassung der beiden Potenzen im Summanden ergibt $\begin{align} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(1-p)^k \lambda^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{((1-p)\lambda)^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} \end{align}$ mit $\begin{align} t:=(1-p)\lambda \end{align}$ . Kommt dir diese Potenzreihe nicht irgendwie bekannt vor?
17.09.2015, 09:33	Novacaine5	Auf diesen Beitrag antworten »
Da waere ich ja nie drauf gekommen Das entspricht e^t Vielen lieben dank
17.09.2015, 09:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Konsequent zuende gerechnet ergibt sich dann auch für $\begin{align} X \end{align}$ eine konkret benennbare diskrete Standardverteilung.
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