Satz von Vitali - stetige Konvergenz

17.09.2015, 22:01

nane

Satz von Vitali - stetige Konvergenz

Guten Abend,
wie schon im lezten Post beschäftige ich mich immer noch mit dem Satz von Vitali.

Zitat:

Satz von Vitali:
Sei $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge von lokal gleichartig beschränkten in einem Gebiet $\begin{eqnarray*} G\subset\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ holomorphen Funktionen. Desweiteren sei $\begin{eqnarray*} L:=\{z\in G | f_n(z)\text{ konvergiert punktweise}\} \end{eqnarray*}$ nicht leer und nicht diskret. Dann konvergiert $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ kompakt in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$

Diesen Satz versuche ich nun via stetiger Konvergenz zu zeigen. Dabei heißt eine Funktionenfolge stetig konvergent, falls für jedes $\begin{eqnarray*} x\in G \end{eqnarray*}$ und jede Folge $\begin{eqnarray*} x_n\to x\in G \end{eqnarray*}$ der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n(x_n) \end{eqnarray*}$ existiert.

Analog zu dieser Definition könnte man soetwas wie punktweise stetige Konvergenz in a aus G definieren, wenn obige Eigenschaft für jede Folge mit Grenzwert a eintritt.

Dazu dann ein Hilfssatz:
Sei $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge mit den Eigenschaften wie im Satz von Vitali und sei $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} a\in G \end{eqnarray*}$ , so dass der Punktweise Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n(a) \end{eqnarray*}$ existiert. Dann ist die Funktionenfolge in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ (punktweise) stetig konvergent.
Beweis:
Da gleichgradig beschränkte, holomorphe Funktionen insbesondere gleichartig stetig sind, gibt es zu gewähltem $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , so dass für alle n : $\begin{eqnarray*} |f_n(x_k)-f_n(a)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_k\text{ mit }|x_k-a|<\delta \end{eqnarray*}$ ist. Wegen der Konvergenzeigenschaft von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass dies für alle $\begin{eqnarray*} k>n_0 \end{eqnarray*}$ zutrifft.
Desweiteren gibt es wegen der punktweisen Konvergenz der $\begin{eqnarray*} f_n(a)\to \tilde{f}(a) \end{eqnarray*}$ in a ein $\begin{eqnarray*} n_1\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |f_n(a)-\tilde{f}(a)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>n_1 \end{eqnarray*}$ .
Dann ist für $\begin{eqnarray*} n>\max\{n_1,n_0\} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |f_n(x_n)-\tilde{f}(a)|\leq|f_n(x_n)-f_n(a)|+|f_n(a)-\tilde{f}(a)|<2\epsilon \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ in a (punktweise) stetig konvergent.

Bleibt die stetige Konvergenz in einem beliebigen Punkt in G zu zeigen.

Um dies zu zeigen benötigen wir die Konvergenzmenge aus dem Satz von Vitali.
Man wählt als $\begin{eqnarray*} L:=\{a,x_1,x_2,...\} \end{eqnarray*}$ und erhält als Kandidaten für die stetige Konvergenz und auf Grund der Äquivalenz bei holomorphen Folgen auch für die kompakte Konvergenz $\begin{eqnarray*} f_n\to\tilde{f} \end{eqnarray*}$ - die punktweise Grenzfunktion.

Sei $\begin{eqnarray*} z\neq a\in G \end{eqnarray*}$ . Konvergiert $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ nicht punktweise in z dann gibt es auf Grund der Beschränktheit von $\begin{eqnarray*} (f_n(z)) \end{eqnarray*}$ nach Bolzano Weierstrass zwei Teilfolgen $\begin{eqnarray*} f_{nk}(z)\to w_1\text{ und }f_{nl}(z)\to w_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w_1\neq w_2 \end{eqnarray*}$
Wegen der Normalität der Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ kann zu Teilfolgen $\begin{eqnarray*} f_{nk_1}\text{ und }f_{nl_2} \end{eqnarray*}$ übergegangen werden, welche kompakt gegen jeweils eine holomorphe Funktionen $\begin{eqnarray*} \tilde{f}_1,\tilde{f}_2 \end{eqnarray*}$ konvergieren. Auf der Menge $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ gilt jedoch:

$\begin{eqnarray*} \tilde{f}_1|_L=\tilde{f}_2|_L=\tilde{f}_L \end{eqnarray*}$

Auf Grund des Identitätssatzes stimmen dann aber die Grenzfunktionen schon auf ganz $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ überein - im Widerspruch zur Annahme. Somit folgt die punktweise Konvergenz in allen Punkten aus G und Kraft des Hilfssatzes die stetige also auch die kompakte Konvergenz auf ganz G.

kann ich das so lassen?

Wink

nane

17.09.2015, 22:59

Guppi12

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Hallo,

Zunächst zu dem Hilfssatz: Die Formulierung der Behauptung ist nicht gut. Die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ erfüllt überhaupt keinen Zweck in der Formulierung, außer ihren Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ zu liefern. Dann wähle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ einfach so.

Es müsste heißen:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge mit den Eigenschaften wie im Satz von Vitali und sei $\begin{eqnarray*} a\in G \end{eqnarray*}$ , so dass der Punktweise Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n(a) \end{eqnarray*}$ existiert. Dann ist die Funktionenfolge in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ (punktweise) stetig konvergent.

Um den Satz zu zeigen, musst du dann eine beliebige Folge mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ wählen und die stetige Konvergenz damit zeigen. Das Wählen der Folge gehört also zum Beweis, nicht zur Aussage des Satzes.

Weiter sind gleichartig beschränkte Familien holomorpher Funktionen meines wissens nur lokal gleichgradig stetig. Aber das reicht ja. Der Rest des Hilfssatzbeweises ist richtig.

Weiter kann ich leider nicht korrigieren, weil dieser Satz

Zitat:

Man wählt als $\begin{eqnarray*} L:=\{a,x_1,x_2,...\} \end{eqnarray*}$ und erhält als Kandidaten für die stetige Konvergenz und auf Grund der Äquivalenz bei holomorphen Folgen auch für die kompakte Konvergenz $\begin{eqnarray*} f_n\to\tilde{f} \end{eqnarray*}$ - die punktweise Grenzfunktion.

für mich irgendwie überhaupt keinen Sinn ergibt. Was meinst du da? Für mich sieht das wie ein wirre Aneinanderreihung von Worten aus. Außerdem kannst du $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ nicht wählen, das ist vorgegeben. Und selbst wenn du $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ wählen könntest, würde es so keinen Sinn machen, weil der Beweis der Hilfsbehauptung abgeschlossen ist. Weder $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} x_1,..., \end{eqnarray*}$ sind zu diesem Zeitpunkt gerade definiert.

18.09.2015, 08:48

nane

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Hallo Guppi12

Danke für deine Hinweise.

Zitat:

Original von Guppi12
Hallo,

Zunächst zu dem Hilfssatz: Die Formulierung der Behauptung ist nicht gut. Die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ erfüllt überhaupt keinen Zweck in der Formulierung, außer ihren Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ zu liefern. Dann wähle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ einfach so.

Es müsste heißen:

Zitat:

Ja du hast recht. Das Weglassen der Folge macht den Satz verständlicher und trennt ihn stärker vom Vitalisatz, für den ich auch die Formulierung

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge von in einem Gebiet $\begin{eqnarray*} G\subset\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ holomorphen Funktionen, die in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ gleichartig beschränkt ist. Es gebe eine nichtleere und in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ nicht diskrete Menge $\begin{eqnarray*} L\subset G \end{eqnarray*}$ , so dassdie Funktionenfolge in jedem Punkt aus $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Dann konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ kompakt in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ gegen eine holomorphe Funktion.

gefunden habe. Daher kommt dann auch die Sache mit der Wahl der Menge L. Jedenfalls macht mir dieser Satz von Vitali den Eindruck man könne dies tun.
(In der ursprünglichen von mir angebenen Formulierung des Satzes von Vitali ist, gebe ich zu, L natürlich festgeschrieben).

Zitat:

Orginal von Guppi12

Zitat:

für mich irgendwie überhaupt keinen Sinn ergibt. Was meinst du da?

Ich glauber hier wollte ich auch zu viel in einem Satz sagen. Besser wäre hier wohl

... Sei nun $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ die Menge, in welcher die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Nach Hilfssatz ist die Funktionenfolge dann auch in allen Punkten von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ (punktweise) stetig konvergent. Zeige nun $\begin{eqnarray*} L=G \end{eqnarray*}$ durch Widerspruch, indem $\begin{eqnarray*} L\neq G \end{eqnarray*}$ angenommen wird.
Ist $\begin{eqnarray*} z\in G\backslash L \end{eqnarray*}$ dann hat die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n(z)) \end{eqnarray*}$ , um die Divergenz aufrecht zu erhalten und auf Grund ihrer Beschränktheit (mindestens) zwei Teilfolgen, die gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren. zB $\begin{eqnarray*} f_{nk}(z)\to w_1 \text{ und }f_{nl}(z)=w_2 \end{eqnarray*}$ .
Nach dem Satz von Montel gibt es Teilfolgen von $\begin{eqnarray*} (f_{nk}),(f_{nl}) \end{eqnarray*}$ , die kompakt gegen eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} \tilde{f}_1\text{ bzw }\tilde{f}_2 \end{eqnarray*}$ konvergieren, für die $\begin{eqnarray*} \tilde{f}_1|_L =\tilde{f}_2|_L \end{eqnarray*}$ gilt. Es sollte demnach keine Einschränkung sein anzunehmen, dass die Folgen $\begin{eqnarray*} (f_{nk}),(f_{nl}) \end{eqnarray*}$ schon selbst kompakt konvergieren.
Auf Grund der Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ gilt aber nach Identitätssatz $\begin{eqnarray*} \tilde{f}_1 =\tilde{f}_2 \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Dann ist aber:
$\begin{eqnarray*} w_1=\lim_{nk}f_{nk}(z)=\tilde{f}_1(z)=\tilde{f}_2(z)=\lim_{nl}f_{nl}(z)=w_2 \end{eqnarray*}$
im Widerspruch zur Annahme.

Hier kommt dann erst die vorschnell eingemischte Äquivalenz von stetiger und kompakter Konvergenz bei holomorphen Funktionenfolgen.

Besser?

Das mit der Wahl der Konvergenzmenge $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ habe ich oben schon versucht zu erklären. Der Beweis der zweiten Formulierung des Satzes von Vitali, welcher die Wahl der Menge $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ zulasst (?) sollte doch eigendlich analog verlaufen?
Als Menge $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ wählt man $\begin{eqnarray*} L:=\{a,x_1,x_2,...\} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist, welche gegen $\begin{eqnarray*} a\in G \end{eqnarray*}$ konvergiert. Für alle Punkte in $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ist die (punktweise) stetige Konvergenz sicher (Hilfssatz). Bleibt also die stetige Konvergenz in einem $\begin{eqnarray*} z\notin L \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Existiert der Punktweise Grenzwert $\begin{eqnarray*} f_n(z) \end{eqnarray*}$ ist wiederum nichts mehr zu zeigen. Existiert er nicht, sollte die selbe Argumentation wie im obigen Beweis zu einem Widerspruch führen.

Diese Formulierung mit der Wahlmöglichkeit (so sie denn besteht) sollte den Satz von Vitali meiner Meinung nach sehr viel anwendbarer machen. Da die Untersuchung auf Punktweise Konvergenz auf einer konvergenten Folge in der Praxis einfacher zu bewerkstelligen ist. Oder?

18.09.2015, 10:59

Guppi12

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An der Formulierung ist nun nichts mehr auszusetzen. Es ist so wesentlich besser zu verstehen, was du meinst.

Alles, was du in deinem letzten Post geschrieben hast, ist nun richtig und sehr schön formuliert. Auf diese Weise würde ich an deiner Stelle immer schreiben, wenn du möchtest, das jemand deinen Beweis liest. Ich weiß allerdings nicht, ob

Zitat:

Hier kommt dann erst die vorschnell eingemischte Äquivalenz von stetiger und kompakter Konvergenz bei holomorphen Funktionenfolgen.

richtig ist, da ich diesen Satz nicht kenne. Ist er es, ist dein Beweis damit vollständig und richtig.

Edit: Habe mir nun zumindest die für diesen Satz relevante Richtung überlegt. Beweis also richtig.

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