Operationstreue von Abbildungen mit Mengenoperation

17.09.2015, 22:04	Joefish	Auf diesen Beitrag antworten »
Operationstreue von Abbildungen mit Mengenoperation Seien $\begin{eqnarray} X, Y \end{eqnarray}$ Mengen, $\begin{eqnarray} f : X \to Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Lambda \end{eqnarray}$ Indexmenge des Mengensystems $\begin{eqnarray} \left\{A_{\lambda} \| \lambda \in \Lambda \right\} \end{eqnarray}$ . Zeige, $\begin{eqnarray} A_\lambda \subset X, \forall \lambda \in \Lambda \Rightarrow f \left( \bigcap\nolimits_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \right) \subset \bigcap\nolimits_{\lambda \in \Lambda} f \left( A_\lambda \right) \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} y \in f \left( \bigcap\nolimits_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \right) \end{eqnarray}$ . Dann existiert ein $\begin{eqnarray} x \in \bigcap\nolimits_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y = f(x) \end{eqnarray}$ , also fuer alle $\begin{eqnarray} \lambda \in \Lambda \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x \in A_\lambda \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y = f(x) \end{eqnarray}$ . Somit ist fuer alle $\begin{eqnarray} \lambda \in \Lambda , y \in f(A_\lambda) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} y \in \bigcup\nolimits_{\lambda\in\Lambda} f(A_\lambda) \end{eqnarray}$ . Mir war nicht wirklich klar wie der Allquantor in "fuer alle $\begin{eqnarray} \lambda \in \Lambda \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x \in A_\lambda \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y = f(x) \end{eqnarray}$ " auf "fuer alle $\begin{eqnarray} \lambda \in \Lambda , y \in f(A_\lambda) \end{eqnarray}$ " verhaelt. Daher habe ich den Beweis noch einmal etwas anders geschrieben: $\begin{eqnarray} y \in f \left( \bigcap\nolimits_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \right) &\Leftrightarrow& \exists x \left( \left(x \in \bigcap\nolimits_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \right) \wedge y = f(x) \right) \\<br /> &\Leftrightarrow& \exists x \left( \left( \forall \lambda\in\Lambda : x \in A_\lambda \right) \wedge y = f(x) \right) \\<br /> &\Rightarrow& \left( \forall \lambda\in\Lambda : \exists x \left( x \in A_\lambda \wedge y = f(x) \right) \right) \\<br /> &\Leftrightarrow& \forall \lambda\in\Lambda : y \in f(A_\lambda) \\<br /> &\Leftrightarrow& y \in \bigcap\nolimits_{\lambda \in \Lambda} f \left( A_\lambda \right) \end{eqnarray}$ Meine eigentliche Frage war, warum keine Aequivalenz gilt. Jedoch fiel mir dann der Fall falls das Mengensystem disjunkt ist auf. Dann hatte ich bei meiner unteren Umformung folgendes stehen: $\begin{eqnarray} \exists x \left( \left( \forall \lambda\in\Lambda : x \in A_\lambda \right) \wedge y = f(x) \right) &\Rightarrow& \exists x \left( \forall \lambda\in\Lambda : \left( x \in A_\lambda \wedge y = f(x) \right) \right) \end{eqnarray}$ Das machte keinen Sinn, da $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ sonst ein fester Wert waere und Element von jedem $\begin{eqnarray} A_\lambda \end{eqnarray}$ . Jedoch waere das gerade wieder die Voraussetzung.. Dann verschob ich einfach den Existenzquantor damit es Sinn macht und dachte mir "Gibt es eigentlich Regeln wie Quantoren mit Logikoperatoren ausser der Negation interagieren?". Ich suchte im Netz aber fand keine richtige Antwort auf meine, wahrscheinlich unguenstig vormulierte Frage. Falls dem so ist, wuerde ich mich ueber Buchempfehlungen bzw Links dazu freuen. mfg Joefish
19.09.2015, 22:40	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Operationstreue von Abbildungen mit Mengenoperation Hallo, ich empfinde das als etwas sehr unschön aufgeschrieben. Schreib es mal so: $\begin{eqnarray} y \in f \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \right) &\Leftrightarrow& \exists x \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda\colon y = f(x) \\<br /> &\Rightarrow& \forall \lambda\in\Lambda : \exists x_\lambda \in A_\lambda\colon y = f(x) \\<br /> &\Leftrightarrow& \forall\lambda\in\Lambda : y \in f(A_\lambda) \\<br /> &\Leftrightarrow& y\in\bigcap_{\lambda \in \Lambda} f \left( A_\lambda \right) \end{eqnarray}$ Die Äquivalenz gilt nicht, da für $\begin{eqnarray} y\in\bigcap_{\lambda \in \Lambda} f \left( A_\lambda \right) \end{eqnarray}$ es eben auch verschiedene $\begin{eqnarray} x_\lambda\in A_\lambda\forall\lambda\in\Lambda \end{eqnarray}$ geben kann, so das $\begin{eqnarray} y=f\left(x_\lambda\right) \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} y \in f \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \right) \end{eqnarray}$ gibt es hingegen ein $\begin{eqnarray} x\in A_\lambda\forall\lambda\in\Lambda \end{eqnarray}$ geben kann, so das $\begin{eqnarray} y=f\left(x\right) \end{eqnarray}$ . Das ist ganz anschaulich eine stärkere Bedingung. Man machesich den Bedeutungsunterschied klar am Beispiel $\begin{eqnarray} \forall\text{Mann}\exists\text{Frau} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \exists\text{Frau}\forall\text{Mann} \end{eqnarray}$ .

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