Darstellung von Gruppen

18.09.2015, 10:33

nima93

Auf diesen Beitrag antworten »

Darstellung von Gruppen

Meine Frage:
Hallo,
ich versuche nun schon seit einigen Tagen, die Darstellung von Lie-Gruppen in der Quantenmechanik zu verstehen. Leider hatte ich bisher mit Gruppentheorie nichts zu tun und tue mir deswegen ziemlich schwer.
Kann mir jemand erklären, wie ich beispielsweise auf folgende angeblich äquivalente Darstellungen der Gruppe Z/3Z komme:

$\begin{eqnarray*} \rho(e)=1, \rho(g)=e^{2\pi i/3}, \rho(h)=e^{4\pi i / 3} \end{eqnarray*}$

beziehungsweise

$\begin{eqnarray*} \rho(e)=E_3 , \, \, \rho(g)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} , \, \, \rho(h)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danke schonmal im Voraus smile

smile

Meine Ideen:
Prinzipiell habe ich verstanden, was eine Gruppe ist und finde es auch logisch, dass es unterschiedliche Darstellungen geben muss (Basiswechsel). Das oben genannte Beispiel wird mir aber einfach nicht klar.

18.09.2015, 10:53

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

eure (lineare) Darstellung ist also eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \rho : G \mapsto Gl_3(\mathbb C) \end{eqnarray*}$ ,
genaugesagt ein Gruppenhomomorphismus von einer additiven gruppe in eine multiplikative.

Daher muss also $\begin{eqnarray*} \rho (g+h) =\rho (g) \cdot \rho (h) \end{eqnarray*}$ gelten und insbesondere $\begin{eqnarray*} \rho (0 ) =E \end{eqnarray*}$ .
Wenn du also eine Abbildung gegeben hast, überprüfe die Bedingungen und dann ist zu sehen ob es eine Darstellung ist oder nicht.

Zitat:

wie ich beispielsweise auf folgende angeblich äquivalente Darstellungen der Gruppe Z/3Z komme:

Wieso Plural? Da steht eine Abbildung, also eine Darstellung nicht mehrere.

Was ist überhaupt e,g,h?

18.09.2015, 10:56

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Oder als Zusatz sollen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \rho(e)=1, \rho(g)=e^{2\pi i/3}, \rho(h)=e^{4\pi i / 3} \end{eqnarray*}$

beziehungsweise

$\begin{eqnarray*} \rho(e)=E_3 , \, \, \rho(g)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} , \, \, \rho(h)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rho(e)=1, \rho(g)=e^{2\pi i/3}, \rho(h)=e^{4\pi i / 3} \end{eqnarray*}$

beziehungsweise

$\begin{eqnarray*} \rho(e)=E_3 , \, \, \rho(g)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} , \, \, \rho(h)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jeweils Abbildungen sein?
Das würde ich beim Zweiten noch halbwegs verstehen, beim ersten teil finde ich es etwas seltsam.

18.09.2015, 14:07

nima93

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und danke für die Antwort!
was e, g und h sein sollen weiß ich leider auch nicht... steht nicht dabei. Und allgemein verstehe ich aktuell leider absolut nichts von dem was du schreibst unglücklich

unglücklich

Ich glaube mein Problem ist, dass mir grundsätzlich nicht klar ist, was eigentlich gemacht werden soll. Wenn ich das richtig verstanden habe, ist doch (zumindest in der Quantenmechanik) mein Ziel, die Gruppe durch Matrizen auszudrücken, mit denen ich dann leichter rechnen kann. Das hieße doch, ich muss Matrizen finden, die die Eigenschaften meiner Gruppe erfüllen? Oder verstehe ich das komplett falsch?
Warum habe ich bei den Darstellungen überhaupt immer drei unterschiedliche?
Gibt es vielleicht ein einfacheres Beispiel für eine Darstellung einer Gruppe?
Sorry für meine Unwissenheit...

18.09.2015, 14:33

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

was e, g und h sein sollen weiß ich leider auch nicht... steht nicht dabei.

Dann ist entweder das Quellmaterial schlecht oder du überliest was.
Notation muss immer erklärt sein.

Zitat:

(zumindest in der Quantenmechanik)

Ich habe keine Ahnung von QM, bin mir aber ziemlich sicher dass für die Probleme hier QM auch komplett nebensächlich ist.

Zitat:

Das hieße doch, ich muss Matrizen finden, die die Eigenschaften meiner Gruppe erfüllen?

Was für Eigenschaften haben denn gruppen deiner Meinung nach?
Und wie sollen irgendwelche Matrizen diese Eigenschaften erfüllen?
ich fürchte die Vorstellung ist, frei nach Pauli, noch nichtmal falsch.

Zitat:

Warum habe ich bei den Darstellungen überhaupt immer drei unterschiedliche?

Drei unterschiedliche was?
Drei unterschiedliche Bilder? Das liegt daran dass drei Elemente abgebildet werden.

Zitat:

Gibt es vielleicht ein einfacheres Beispiel für eine Darstellung einer Gruppe?

Minimale einfacher: Du nimmst die Gruppe mit 2 Elementen.

Sind dir die Begriffe:
Abbildung, Gruppenhomorphismus, additive/multiplikative Gruppe, allgemeine lineare Gruppe bekannt?
Kannst du beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} \rho : \mathbb Z /3 \mathbb Z \to Gl_3(\mathbb C) \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \rho(0)=E_3 , \, \, \rho(1)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} , \, \, \rho(2)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ein Gruppenhomomorphismus ist?

Zitat:

Sorry für meine Unwissenheit...

Unwissenheit ist nichts wofür man sich entschuldigen müsste.

18.09.2015, 15:36

nima93

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Begriffe die du unten nennst habe ich mir alle schon mehrfach ergooglet. Da ich mich bisher Ich komme trotzdem nochmal auf die Quantenmechanik zurück, weil das das einzige Beispiel ist, das ich kenne (und auch das einzige, das explizit in meiner Prüfung nächste Woche gefragt wird smile

smile

). Ich führe das mal genauer aus, damit auch klar ist, was ich meine:

Dort habe ich z.B. die Drehimpulsoperatoren $\begin{eqnarray*} L_x, L_y, L_z \end{eqnarray*}$ . Diese erfüllen die Kommutatorrelation $\begin{eqnarray*} [L_i, L_j]=\epsilon_{ijk}L_k. \end{eqnarray*}$ und sind Erzeugende von Drehungen um die jeweiligen Raumachsen: $\begin{eqnarray*} exp(\frac{i}{\hbar} \varphi \hat{n}\cdot \vec{L}) \end{eqnarray*}$ ist der Drehoperator. ( $\begin{eqnarray*} \vec{L} \end{eqnarray*}$ ist dabei ein Vektor aus den drei Operatoren, $\begin{eqnarray*} \hat{n} \end{eqnarray*}$ ist der Einheitsvektor der Drehachse, $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist der Drehwinkel). Wenn ich die e-Funktion entwickle, bekomme ich in erster Ordnung $\begin{eqnarray*} 1 + \frac{i}{\hbar}\varphi \hat{n} \cdot \vec{L} \end{eqnarray*}$ . Das entspricht bei sehr kleinem Winkel gerade einer infinitesimalen Rotation.

Der Rest kommt sofort in einem zweiten Beitrag.

Anzeige

18.09.2015, 15:46

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bereits gesagt: ich hab keine Ahnung von Quantenmechanik, darüber musst du dich mit jemand anders unterhalten, und halte es auch nicht für das wirkliche Problem,

18.09.2015, 15:49

nima93

Auf diesen Beitrag antworten »

So komme ich z.B. für eine Drehung um die z-Achse auf: $\begin{eqnarray*} 1 + \frac{i}{\hbar}\varphi \hat{n} \cdot \vec{L} =\begin{pmatrix} 1 &-\varphi & 0 \\ \varphi & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wobei auf der rechten Seite die Drehmatrix für Drehungen um die z-Achse für kleine Winkel entwickelt wurde.
Wenn man jetzt auf beiden Seiten ableitet, kommt man für jede Raumrichtung auf eine 3X3 Matrix mit je zweimal der imaginären Einheit als Eintrag (so ähnlich wie Paulimatrizen).
Dann wird gesagt: Diese drei Matrizen sind eine mögliche Darstellung der durch die Drehimpulsoperatoren definierten Lie-Gruppe. Die Drehmatrizen und die e-Funktionen sind wohl äquivalente, irreduzible Darstellungen. Heißt das, die Matrizen erfüllen die selbe Algebra wie die Drehimpulsoperatoren? Spricht man dann noch von einer Lie-Gruppe, oder ist das eine Lie-Algebra?
Die Rechnung verstehe ich in diesem Fall ja noch halbwegs, aber jede verallgemeinerung verstehe ich absolut nicht mehr.

18.09.2015, 15:54

nima93

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir geht es ja eigentlich auch nicht um die Quantenmechanik, sondern um die Gruppentheorie dahinter. Ist ja eigentlich alles eine zunächst eine rein mathematische Beschreibung von Drehungen, wenn ich das richtig verstehe.

18.09.2015, 15:59

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine neue Frage, dann stell sie auch bitte in einem neuen Thread. (hat eigentlich nur Vorteile für dich: Es werden sie mehr Leute wahrnehmen).

Wenn die ursprüngliche Fragestellung des Threads hier weiterverfolgen willst können wir das gerne machen und ich würde dich bitten auf die Fragen aus meinem letzten Post zum Thema eingehen insbesondere:
Kannst du beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} \rho : \mathbb Z /3 \mathbb Z \to Gl_3(\mathbb C) \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \rho(0)=E_3 , \, \, \rho(1)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} , \, \, \rho(2)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ein Gruppenhomomorphismus ist?

18.09.2015, 16:23

nima93

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für das Wirrwar, das Thema zu wechseln war garnicht mein Plan Es geht mir nach wie vor darum, Darstellung von Gruppen zu verstehen. Ich hatte nur erwartet, dass die Geschichte mit den Drehungen und Lie-Gruppen ein Standardbeispiel und vielleicht anschaulicher ist. Vor allem wollte ich sicher gehen, dass es sich auch tatsächlich um das gleiche Problem handelt.
Die Fragen aus deinem letzten Post wollte ich mit den Drehungen auch teilweise beantworten, ich kenne das nämlich so mit diesen Kommutatorrelationen, die erfüllt sein müssen. Bei dem Beispiel mit Z/3Z gibt es so etwas allerdings nicht, was mich ziemlich verwirrt.
Und nein, ich habe leider keine Ahnung wie man beweist, dass das ein Gruppenhomomorphismus ist. Weil ich den Zusammenhang auch einfach nicht verstehe. Ich habe ja eine unendliche Anzahl von Zahlen, da ich für Z jede beliebige ganze Zahl einsetzen kann. Wieso soll ich diese Zahlen überhaupt durch Matrizen darstellen können? Und wieso sollen drei Elemente abgebildet werden? Das wären doch unendlich viele, oder verstehe ich etwas falsch? Irgendwie sieht das für mich völlig anders aus, als die Sache mit den Drehungen...

18.09.2015, 16:44

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich habe ja eine unendliche Anzahl von Zahlen

Nein.

Zitat:

\mathbb Z / 3 \mathbb Z

enthält als Menge genau drei Elemente.

Zitat:

ich kenne das nämlich so mit diesen Kommutatorrelationen, die erfüllt sein müssen

Das nennt man Präsentation einer Gruppe und ist eine spezielle Art Gruppen aufzuschreiben.

18.09.2015, 21:42

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Darstellung von Gruppen

Zitat:

Original von nima93
ich versuche nun schon seit einigen Tagen, die Darstellung von Lie-Gruppen in der Quantenmechanik zu verstehen. Leider hatte ich bisher mit Gruppentheorie nichts zu tun und tue mir deswegen ziemlich schwer.

Wenn du nächste Woche Prüfung hast und keine Ahnung von Gruppentheorie, geschweige denn von Lie-Gruppen und Lie-Algebren hast, dann ist das wohl kaum zu schaffen. Es geht offenbar um die Drehgruppe $\begin{align*} SO(3) \end{align*}$ mit ihrer Lie-Algebra $\begin{align*} \mathfrak{so}(3) \end{align*}$ und unter Umständen $\begin{align*} SU(2) \end{align*}$ . Dies alles hat nichts mit $\begin{align*} \mathbb Z/3\mathbb Z \end{align*}$ zu tun.

Ich gebe dir mal einige wikipedia-Links:
SO(3)
othogonale Gruppe
Drehgruppe
Lie-Gruppe
Lie-Algebra
Baker-Campbell-Hausdorff

Ich hoffe, du kannst damit etwas anfangen.

PS: Ich werde hier nicht übernehmen!

19.09.2015, 02:06

nima93

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Links, habe ich leider alle schon mehrfach gelesen. Werde das einfach nochmal tun, vielleicht kommt ja die Erleuchtung irgendwann.

Zitat:

Dies alles hat nichts mit Z/3Z zu tun.

Im speziellen nicht, aber die Darstellung sollte doch für jede Gruppe gleich funktionieren?

Zitat:

Wenn du nächste Woche Prüfung hast und keine Ahnung von Gruppentheorie, geschweige denn von Lie-Gruppen und Lie-Algebren hast, dann ist das wohl kaum zu schaffen.

Das befürchte ich langsam auch...

Trotzdem würde mich noch interessieren, wieso die Gruppe Z/3Z genau drei Elemente enthält. welche wären das denn? Ich setze also nicht einfach ganze Zahlen für Z ein?

19.09.2015, 09:23

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das befürchte ich langsam auch...

Lass dich nicht von RavenOnJ ins Bockshorn jagen.
Die Links nochmal durchlesen halte ich für absolut keine gute Idee. Mal abgesehen davon, dass Wikipedia nicht zum Lernen sondern zum Nachschlagen da ist, liegt mMn dein Problem nicht bei diesen Objekten.
Sondern beim grundlegenden Verständnis/Kenntnis der Gruppentheorie.
Wenn du was durchlesen willst, schnapp dir ein Algebra/Gruppentheorie-Buch und lies dir die ersten paar Kapitel durch

Zitat:

Trotzdem würde mich noch interessieren, wieso die Gruppe Z/3Z genau drei Elemente enthält. welche wären das denn? Ich setze also nicht einfach ganze Zahlen für Z ein?

Die Gruppen $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z /n \mathbb Z , +) \end{eqnarray*}$ sind die zyklischen Gruppen mit n Elementen.
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z /n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist der sog. Restklassenring modulo n, d.h. die Elemente sind Restklassen modulo n.

Zitat:

PS: Ich werde hier nicht übernehmen!

Es hat auch keiner gefragt.

19.09.2015, 11:22

nima93

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Die Gruppen $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z /n \mathbb Z , +) \end{eqnarray*}$ sind die zyklischen Gruppen mit n Elementen.

Ah, das erklärt so einiges. Ich hatte den Slash als Bruchstrich interpretiert xD

Zitat:

Wenn du was durchlesen willst, schnapp dir ein Algebra/Gruppentheorie-Buch und lies dir die ersten paar Kapitel durch

Das wird wohl tatsächlich das einzig sinnvolle sein. Ohne Grundwissen macht das wohl wenig Sinn an dem Punkt weiterzumachen. Kannst du ein gutes Buch empfehlen, das sich auf das Wesentliche konzentriert?

Ansonsten fürs Erste vielen Dank für deine Hilfe!

19.09.2015, 13:07

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab keine spezielle Empfehlung, für die Grundlagen (und darum geht's erstmal) tun's die meisten Bücher.

19.09.2015, 17:23

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Captain Kirk

Wenn du was durchlesen willst, schnapp dir ein Algebra/Gruppentheorie-Buch und lies dir die ersten paar Kapitel durch

Und das ist jetzt auf die Schnelle zielführender? Lie-Gruppen werden dort mit Sicherheit auch behandelt, denn so was lernt man ja in der Einführung zur Gruppentheorie.

Zitat:

Zitat:

PS: Ich werde hier nicht übernehmen!

Es hat auch keiner gefragt.

Indirekt schon. Aber trotzdem Danke für diesen konstruktiven Kommentar.

19.09.2015, 17:33

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Und das ist jetzt auf die Schnelle zielführender?

Defintiv zielführender als mit

Zitat:

dann ist das wohl kaum zu schaffen.

gleich zum Aufgeben aufzufordern.

Zitat:

Lie-Gruppen werden dort mit Sicherheit auch behandelt, denn so was lernt man ja in der Einführung zur Gruppentheorie.

Sind wir jetzt schon bei Ironie?
Und wenn jemand die einfachsten Gruppen, die zyklischen Gruppen, nicht kennt wird's halt mit komplizierten Sachen wie Lie-Gruppen schwierig.

Zitat:

Indirekt schon.

Weder direkt noch indirekt.

Zitat:

Aber trotzdem Danke für diesen konstruktiven Kommentar.

Tut mir leid dass ich auf deine Provokation angesprungen bin.

19.09.2015, 18:36

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Captain Kirk

Sind wir jetzt schon bei Ironie?

Oh, ich bin erstaunt.

Zitat:

Und wenn jemand die einfachsten Gruppen, die zyklischen Gruppen, nicht kennt wird's halt mit komplizierten Sachen wie Lie-Gruppen schwierig.

Tja, es ging aber, wie du aus den obigen Ausführungen des TE unschwer erkennen kannst, um die SO(3) und ihre Lie-Algebra. Inwiefern da einführende Kapitel in die Theorie der Gruppen zielführender sein sollen als wikipedia-Artikel über die Drehgruppe, die direkt in medias res gehen, kann ich nicht nachvollziehen. Natürlich muss man erst mal wissen, was überhaupt eine Gruppe ist, abelsche und nicht-abelsche Gruppen unterscheiden können, zyklische Gruppen und wie Gruppen auf Mengen operieren können. Aber dann muss man sich halt - meiner Meinung nach - schnell in Richtung Lie-Gruppen orientieren, wenn die Zeit so knapp ist. Sich da groß bei endlichen Gruppen oder Permutationsgruppen aufzuhalten ist vermutlich zu zeitraubend.

Ich habe übrigens nicht zum Aufgeben aufgefordert, sondern nur aufgrund der fehlenden Basis gewisse Zweifel geäußert.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »