Auslenkung eines Federpendels mit Iterationsverfahren berechnen |
| 18.09.2015, 12:27 | Employee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Auslenkung eines Federpendels mit Iterationsverfahren berechnen Hallo, im Rahmen einer Hausarbeit für mein Studium habe ich folgende Frage erhalten: Der Manager des Vereins hat, um den unerträglichen Stress des Managerdaseins zu kompensieren, ein kleines Federpendel auf dem Schreibtisch, das er zur Beruhigung betrachtet. Versieht man das Pendel mit einer Anfangsauslenkung und gibt ihm einen kleinen Anfangsimpuls mit, so schwingt es auf und ab. Die Auslenkung zum Zeitpunkt t, t 0 , wird angegeben durch die Funktion ((48*sin(1.1*x)/sqrt(x))+40)/(exp(x/11)) Meine Ideen: Gesucht ist nun der Zeitpunkt t0, bei dem die Auslenkung genauso groß wie die Anfangsauslenkung zur Zeit t=0 ist. Zur Auswahl stehen die Iterationsverfahren Bisektionsverfahren (Intervallhalbierungsmethode) und Newtonverfahren. Beim Newtonverfahren müsste man die Formel ja 2x ableiten, das halte ich für recht komplex und aufwändig. Also würde ich das Bisektionsverfahren bevorzugen. Meine ersten Schritte waren nun folgende: Ich habe die Funktion geplottet. Dabei wird für mich erkennbar, dass die Auslenkung ungefähr zwischen 2,1-2,3 den gleichen Wert wie die Anfangsauslenkung annimmt. Also steige ich bei 2,1 ein oder? Oder bin ich hier auf dem Holzweg? Setze ich in o.g. Formel t=0 erhalte ich mit dem Rechner keine Lösung, würde aber von einer Auslenkung von 40 rechnen (durch Anwendung der Grenzwertgesetze). |
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| 18.09.2015, 12:57 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Auslenkung eines Federpendels mit Iterationsverfahren berechnen Willkommen im Matheboard! Newton würde zwar nur eine Ableitung brauchen, aber die ist in der Tat sehr hässlich, so rate ich auch zur Bisektion. Dass die Funktion für t=0 gegen 40 konvergiert, müsstest Du streng genommen erst mal nachweisen. Ansonsten brauchst Du nun einen ersten x-Wert, wo die Funktion noch größer als 40 ist, und einen zweiten , wo sie kleiner ist. Bei x=2,3 ist sie aber immer noch größer. Am einfachsten ist es wohl, Du setzt das erste Intervall auf [2;3]. Die Mitte ist 2,5, nun schau, ob's da größer oder kleiner ist und setz das neue Intervall. Und so weiter. Wenn Du Hilfe brauchst, sag's uns. Viele Grüße Steffen |
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| 18.09.2015, 15:37 | Employee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Steffen, vielen Dank für die schnelle Antwort! Genau der Beweis macht mich unsicher: Der Nenner des Bruchs ergbit bei t=0, 1. Beim Zähler wird der Bruch zu Null, dann bleibt die 40 stehen. geb ichs im Taschenrechner ein, schmeißt der mir "math error" aus. Das Problem wird höchstwahrscheinlich vorm Taschenrechner sitzen! Abgesehen davon, komme ich niemals auch nur in die Nähe der 40: x= 1 -> 37,365 x= 2 -> 34,436 x= 2,3 -> 33,586 x= 2,5 -> 33,028 x= 2,7 -> 32, 478 Also irgendwas ist faul, aber ich hab noch keinen blassen Schimmer was 
Gruß Patrick |
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| 18.09.2015, 16:07 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, wie Du in Deiner Formel siehst, wird da noch durch dividiert, deshalb knallt's ja auch bei Deinem Taschenrechner. Du kannst aber nachweisen, dass , und dann bleibt in der Tat die 40 stehen.
Da hast Du irgendwas falsch eingegeben. Prüf die Formel im Taschenrechner noch mal nach, besonders die Klammern. Es ist f(1)=75,585... und f(2)=56,229... Viele Grüße Steffen |
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| 18.09.2015, 16:08 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stell mal deinen Winkel-Wahlschalter von DEG auf RAD. 
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| 18.09.2015, 17:05 | Employee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
War irgendwie klar, so dumm 
Dank euch! Wende ich nun die Bisektionsmethode an, so nähere ich mich von Intervall zu Intervall immer näher an die 40 an. Das wichtige ist aber in dem Fall die Zeit t0, die bis auf 2 Nachkommastellen genau angegeben werden soll, das hab ich ausnahmsweise richtig erfasst, oder? x= 2,5 -> 41,099 x= 2,55 -> 39,597 x= 2,525 -> 40,346 x= 25375 -> 39,971 x= 2,5313 -> 40,157 x= 2,5344 -> 40,064 Damit würde ich zum Ende kommen und festhalten, dass die Zeit t0 = 2,53s ist. Stimmt ihr mir überein? Gruß Patrick |
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| 18.09.2015, 17:16 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es stimmt, aber Bisektion geht etwas anders. Das erste Intervall ist [2;3]. Du hast also f(2)=56,229 und f(3)=27,124. Die Mitte ist f(2,5)=41,099. Und deswegen entscheidest Du Dich nun für die "obere" Intervallhälfte, und das ist [2,5;3]. Da ist nun die Mitte 2,75. Nun hast Du f(2,75)=33,774, das neue Intervall ist also [2,5;2,75] mit der Mitte 2,625. Und so weiter. EDIT: wenn ich's richtig sehe, ist bei Dir das erste Intervall [2,5;2,55], und nicht [2;3]. Dann passt es. |
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| 19.09.2015, 14:35 | Employee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Spitze! Freundlichen Dank für alle Mühen! Gruß Patrick |
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