Logarithmus vereinfachen

18.09.2015, 12:40

Boom

Logarithmus vereinfachen

Hallo Leute!

Ich probiere gerade mit Logarithmen zurecht zu kommen...

$\begin{eqnarray*} lg\left(x\right) - lg\left(\sqrt{x}\right) = 2lg\left(2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow lg\left(\frac{x}{\sqrt{x} } \right) = lg\left(2^{2} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow log_{10} \left(\frac{x}{\sqrt{x} } \right) = log_{10} \left(2^{2} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 10^{\frac{x}{\sqrt{x}}}= 10^{2^{2} } \end{eqnarray*}$

Das ist mein Lösungsansatz für die Aufgabe. Ich weiß nun aber nicht was ich mit $\begin{eqnarray*} 10^{\frac{x}{\sqrt{x}}} \end{eqnarray*}$ anfangen soll und wie ich auf das Ergebnis x=16 kommen soll...

Habe ich in der Umformung einen Fehler gemacht?

18.09.2015, 13:00

mrdo87

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Hey,

du hast die Logarthmusgesetze soweit richtig angewendet. Die letzte Gleichung wirkt jedoch unnötig kompliziert. Und die vorletzte Gleichung ist ja genau die selbe wie oben drüber, nur eben die abgekürzte Schreibweise $\begin{eqnarray*} lg \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} log_{10} \end{eqnarray*}$ ersetzt.

$\begin{eqnarray*} lg (\frac {x} {\sqrt{x}})=lg(2^2) \quad | 10^{()} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x}}=4 \end{eqnarray*}$

Den Bruch solltest du noch zusammenfassen (entweder mit Hilfe der Potenzgesetze oder indem du den Nenner rational machst). Dann bist du so gut wie am Ziel.

18.09.2015, 13:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Boom
$\begin{eqnarray*} log_{10} \left(\frac{x}{\sqrt{x} } \right) = log_{10} \left(2^{2} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 10^{\frac{x}{\sqrt{x}}}= 10^{2^{2} } \end{eqnarray*}$

Kurios: Statt nur einmal die Exponentierungsoperation $\begin{align*} t\to 10^t \end{align*}$ durchzuführen - was zu $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x} } = 2^2 \end{eqnarray*}$ und damit über den kurzen Weg zur Lösung führt - tust du das ohne Pause gleich iterativ noch ein zweites Mal. Da fragt ich mich schon: Wieso? verwirrt

18.09.2015, 14:39

Boom

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Danke, mrdo87!
Ich war mir nicht ganz sicher, ob ich das einfach so machen kann.

Zitat:

Wieso? verwirrt

Das habe ich nur der Übersicht wegen gemacht. Dass das eigentlich überflüssig ist weiß ich, aber ich wollte meinen Ansatz halt genau darstellen.

18.09.2015, 14:44

HAL 9000

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Beide Begründungen ("Übersicht" / "genaue Darstellung") leuchten mir zwar in keinster Weise ein - aber danke, dass du wenigstens versucht hast, mir deine Gründe darzulegen. Wink

20.09.2015, 21:11

Steve1711

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Hallo,

habe eine kurze Frage zur obigen Aufgabe:

Wieso wäre es falsch am Anfang das x und die Wurzel von x nicht in einen Logarithmus zu packen?

So dass alle Logarithmen wegfallen und man am Ende x minus Wurzel x gleich 4 erhält.

20.09.2015, 23:25

Mathe-Maus

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@Steve: Dein Weg geht auch, finde ich sogar eleganter Wink

21.09.2015, 00:07

Dangalf

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Zitat:

Original von Steve1711
Hallo,

habe eine kurze Frage zur obigen Aufgabe:

Wieso wäre es falsch am Anfang das x und die Wurzel von x nicht in einen Logarithmus zu packen?

So dass alle Logarithmen wegfallen und man am Ende x minus Wurzel x gleich 4 erhält.

WAAAAAAH!!!!!
$\begin{eqnarray*} log(a) - log(b) = log(\frac{a}{b}) \end{eqnarray*}$ und NICHT $\begin{eqnarray*} log(a-b) \end{eqnarray*}$ !
Boom hat das oben völlig korrekt gerechnet!

Und weil's noch niemand erwähnt hat: $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt x} \end{eqnarray*}$ ist einfach $\begin{eqnarray*} {} = \sqrt x \end{eqnarray*}$ .

21.09.2015, 00:42

Steve1711

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