Von einem Funktional einer Zufallsvariable erzeugte Sigma Algebra

18.09.2015, 15:15	cozynz	Auf diesen Beitrag antworten »
Von einem Funktional einer Zufallsvariable erzeugte Sigma Algebra Meine Frage: Hallo, ich habe folgendes Problem: Ich möchte herausfinden, welche der beiden folgenden $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebren die größere ist, bzw ob die gleich sind: $\begin{eqnarray} \mathcal{F}_1 = \sigma(X_t,t\in U) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal{F}_2 = \sigma(X_t\cos(X_t),t\in U) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} U\subset \mathbb{R} \end{eqnarray}$ beliebig. Meine Ideen: Mein Problem ist hierbei, dass ich ja bei der zweiten mir kein wirkliches Urbild vorstellen kann, da die Funktion ja nicht invertierbar ist. Bei der zweiten Sigma-Algebra wäre ja dann das Urbild mehrelementig und wäre das dann überhaupt noch vergleichbar mit der ersten Sigma-Algebra?
18.09.2015, 15:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{align} \sigma(g(X)) \subseteq \sigma(X) \end{align}$ für jede messbare Funktion $\begin{align} g \end{align}$ , speziell auch für $\begin{align} g(t)=t\cos(t) \end{align}$ . Damit folgt klar $\begin{align} \mathcal{F}_2\subseteq \mathcal{F}_1 \end{align}$ .
18.09.2015, 15:26	cozynz	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort Gibt es da Bedingungen in welchen Fällen die Gleichheit gilt und wann $\begin{eqnarray} \mathcal{F}_2\subset\mathcal{F}_1 \end{eqnarray}$ ?
18.09.2015, 15:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kommt drauf an: Wenn $\begin{align} g \end{align}$ injektiv ist, dann sind beide Sigma-Algebren gleich. Dein $\begin{align} g \end{align}$ ist zwar auf ganz $\begin{align} \mathbb{R} \end{align}$ nicht injektiv, aber z.B. auf $\begin{align} \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \end{align}$ . Wenn also alle $\begin{align} X_t \end{align}$ nur Werte aus diesem Intervall annehmen, dann kann man $\begin{align} g \end{align}$ auf dieses Intervall einschränken, und diese Einschränkung ist dann injektiv - dann wäre tatsächlich $\begin{align} \mathcal{F}_2=\mathcal{F}_1 \end{align}$ .
18.09.2015, 15:42	cozynz	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »