Mengen auf Konvexität überprüfen

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Haeusmeister Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen auf Konvexität überprüfen
Meine Frage:
Die Aufgabe lautet wie folgt:

Welche der folgenden Mengen sind konvex und welche nicht?

a.)

b.)

c.)

Meine Ideen:
Laut Definition ist eine Menge konvex, wenn für jeden beliebigen Punkt x1 und x2 in der Menge X gilt:



Jede konvex Kombination muss also in der Menge X liegen.

Wie genau kann ich das jetzt auf meine Aufgabe anwenden?

Wäre für einen Denkanstoß sehr dankbar smile Vielen Dank für eure Hilfe.
Telperien Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen auf Konvexität überprüfen
Meine Idee wäre du nimmst zwei Punkte, bei Aufgabe c) z.B. und , beide 2-dimensional, (bei a) und b) dreidimensional) setzt diese in die Formel für Konvexität ein und schaust, ob mit den Anforderungen, die an und gestellt werden das Ergebnis die Anforderungen der Menge wieder erfüllt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine lineare Gleichung entspricht einer Hyperebene, eine lineare Ungleichung entspricht also einem Halbraum. Damit kann man die Mengen leicht skizzieren.
Haeusmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du das vielleicht bitte ein bisschen ausführlicher erläutern mit dem zeichnen?

Kann ich aus den Ungleichungen einfach Gleichungen machen, um diese dann einzeichnen zu können? (Jeweils eine Variable wird Null gesetzt) So wie man es bei einem Maximierungs- bzw. Minimierungsproblem macht, um zu schauen, wo das Maximum bzw. Minimum liegt?

Beispiel a.)





Und die erhaltenen Werte zeichne ich dann in ein dreidimensionales Koordinatensystem, richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

An den Beitrag von Elvis anknüpfend, folgende zwei Eigenschaften sind besonders hilfreich:

(a) Halbräume sind stets konvexe Mengen.

(b) Der Durchschnitt beliebig vieler konvexer Mengen ist wieder konvex.

Dies berücksichtigend ist eigentlich nur noch bei b) zu untersuchen, ob konvex ist - alles andere bei diesen drei Aufgaben wird durch (a),(b) abgedeckt.
Haeusmeister Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe. Wie untersuche ich, ob die von die genannte Menge konvex ist?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3E%3Dx%5E2

... "konvexer" geht nicht.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke es wäre gut einfach mal zu zeigen wie man es rechnerisch lösen kann. Als Beispiel mal die erste Menge


Falls , dann müssen wir zeigen, dass für . D.h. und .

Um das erste zu zeigen, rechnen wir
.
Durch die Umklammerung
und können wir nun benutzen, dass und damit und . Also
. Also was zu zeigen war. Die meisten Eigenschaften kann man ähnlich zeigen.
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