Einfache(re)s Verfahren zur Ermilltung des Stützvektors bei Schnittgeraden

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AstroNerd Auf diesen Beitrag antworten »
Einfache(re)s Verfahren zur Ermilltung des Stützvektors bei Schnittgeraden
Hallo Forenuser,
Ich bin derzeit im Abitur und finde Lineare Gleichungssysteme ziemlich nervig. Allgemein ist es recht simpel, bei sich zwei schneidenen Ebenen den Richtungsvektor der Schnittgerade zu ermitteln. Man nehme (in der Normalenform) das Kreuzprodukt aus den Normalenvektoren und hat sofot den Richtungsvektor. Gibt es eine ähnlich einfache Methode, um den Stützvektor bei Schnittgeraden zu ermitteln ?
Mit freundlichem Gruß
AstroNerd
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Für deinen Stützvektor brauchst du halt schon irgendeinen Punkt, den die beiden Ebenen gemeinsam haben.
Wenn die Ebenen z.B. in Koordinatenform vorliegen und zudem auch noch recht simpel gestrickt sind (z.B. wenn beide Ebenen Ursprungsebenen sind und somit die Form ax+by+cz=0 haben), dann kann man einen solchen gemeinsamen Punkt schnell sehen.
Im Allgemeinen wird das aber eher nicht ganz so einfach sein.

Welche Vorgehenweise empfindest du denn eigentlich genau als nervig ?
Wenn beide Ebenen in Koordinatenform vorliegen, hast du ja nur ein LGS mit 2 Gleichungen und der Aufwand damit die Lösungsmenge (bzw. die unendlich vielen Lösungen) allgemein als Gerade umzuschreiben, hält sich eigentlich auch in Grenzen.
Wenn dir das mit dem Einführen eines Parameters nicht gefallen sollte, kannst du dir ja auch an geeigneter Stelle eine Koordinate selbst vorgeben, um damit dann jeweils zwei Punkte der (Schnitt)Geraden zu bestimmen. Aus den zwei Punkten, machst du dann wie gewohnt deine Parameterform der Geraden.

Komplett umgehen könnte man ein LGS auch dadurch, wenn eine Ebene in Parameterform und die andere in Koordinatenform vorliegt.
Denn dann setzt man die Parameterform in die Koordinatenform ein und hat dann kein LGS mehr, sondern nur noch eine einzige Gleichung, welche man nach einem der Parameter auflöst und in die Parameterform der Ebene einsetzt.
AstroNerd Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Mein Problem mit dem LGS ist, dass ich das irgendwann mal in der 9. Klasse hatte, mich kaum erinnern kann, wie man mit Multiplikation und Addition die einzelnen Variablen ''auslöscht'', mir das ganze viel zu lange dauert und ich da schnell durcheinander komme. Deswegen versuche ich, obwohl ich ziemlich gut in Mathematik bin, LGSe möglichst zu umgehen.
Nehmen wir ein Beispiel. Seien

und Ebenen im R³.

Um die Schnittgerade zu berechnen, kann ich entweder:
1.) Gleichsetzen:




Ab hier wird es mir zu aufwändig. Da muss ich erstmal einen Parameter frei wählen (ich nehme jetzt z.b. r) und muss den Rest mühselig ausrechnen, in dem ich ständig mutlipliziere und auschlösche durch addieren. Viel zu lang, viel zu kompliziert. Einfacher kann ich zumindest den Richtungsvektor bestimmen, in dem ich aus den 4 Richtungsvektoren jeweils 2 Normalenvektoren durch Vektorprodukt ermittle und aus den 2 Normalenvektoren wieder das Vektorprodukt bilde.

2.) Normalenvektoren kreuz-multiplizieren:




So ergibt sich schonmal der Richtungsvektor der Schnittgerade:


Weiter komme ich im Moment auf einfachem Wege nicht.
Mit freundlichem Gruß
AstroNerd
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Hier der Code, den ich benutzt habe, falls User Ausschnitte aus der Aufgabe nutzen wollen, um den Code nicht komplett selbst nochmal schreiben zu müssen:

1.

E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}

F:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}

2.

E = F

\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}

r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} r && s && u && v && \cr \\ 2 && 3 && -6 && -2 && 1 \cr \\ -5 && -2 && 4 && 1 && -4 \cr \\ 3 && 4 && -1 && 0 && 2 \end{pmatrix}

3.

\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 \\ 1 \\ 11 \end{pmatrix}

\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}

\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -14 \\ 1 \\ 11 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 20\\ 39 \\ -29 \end{pmatrix}
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Man sieht, du bist ein Latex-Fan. Big Laugh

Zitat:
in dem ich ständig mutlipliziere und auschlösche durch addieren.


Wobei man hierzu noch sagen muss, dass "ständig" eigentlich auch maximal dreimal heißt (in deinem Beispiel sogar nur zweimal, weil da sogar schon eine Null steht).
Es müssen ja an drei bestimmten Stellen Nullen stehen, das wars.
Wenn denn beide Ebenen wirklich auch nur in Parameterform vorliegen, dann wärer dieser Weg jedoch trotzdem vom Aufwand her gar nicht so verkehrt.
Eh du deine ganzen Kreuzprodukte alle berechnet und zumindest eine Ebene in Koordinatenform umgeformt hast, in der Zeit hat man eigentlich auch die oben erwähnten (maximal) drei Nullen erzeugt.
Angenommen du hast dann in der letzten Zeile sowas wie 3 4 0 0 2 stehen, dann kann man 3r+4s=2 nach r oder s umstellen und in die entsprechende Ebene einsetzen.

Wenn dir das nun aber trotzdem auf diese Weise unsymphatisch bleibt, dann müsstest du mir sagen mit welchem meiner anderen Vorschläge (die ich ja bereits in meinem ersten Beitrag erwähnt hatte) du gerne weiterarbeiten möchtest.
AstroNerd Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das, ich muss nur die letzte Zeile mit -6 multiplizieren (und erhalte so -18 - 24 6 0 = -12) und die erste Zeile mit der letzten addieren (und erhalte so -16 -21 0 0 = -11), daraufhin -16r - 21s = -11 dann z.b. nach r umstellen (r = (-11 + 21s)/16) und das in r einsetzen ? Und schon ist das Ding fertig (nachdem ich den Rest eingesetzt und errechnet habe) ?
Also entweder liegt es an meiner Unmotiviertheit oder ich habe das noch nicht ganz überblickt.
Mit freundlichem Gruß
AstroNerd
AstroNerd Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eben nachgerechnet und erhalte:



Das sind ziemlich krumme Werte. Ist davon auszugehen, dass in meiner Abiturarbeit "nette" Werte rauskommen (möglichst keine Brüche o.ä.) ?
Mit freundlichem Gruß
AstroNerd
PS.: Ich hoffe, ich schiebe gerade nicht all zu sehr ''Abitur-Panik''
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Heißt das, ich muss nur die letzte Zeile mit -6 multiplizieren


Das eher nicht, denn man sollte zunächst zwei untereinander stehende Nullen erzeugen, da ansonsten bereits hergestellte Nullen wieder "kaputt" gehen.
Hier würde es sich zunächst anbieten die zweite Zeile mit 2 zu multiplizieren, um diese dann mit der ersten Zeile zu addieren.
Damit hat man dann schon mal zwei untereinander stehende Nullen, die, wenn man danach auch nur noch mit diesen Zeilen arbeitet, auch nicht mehr weggehen werden.
Danach dann also nur noch mit den beiden Zeilen, wo die Null steht, arbeiten, um noch in der v-Spalte eine bzw. die letzte Null zu erzeugen.

Selbst wenn jetzt später aber sowas wie ensteht, dann ist ja dann relativ schnell auch weiter zu umzuformen.
AstroNerd Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich habe es verstanden:
1. Die zweite Zeile mal 2





2. Die erste mit der zweiten Zeile addieren





3. Die letzte Zeile mit 2 multiplizieren





4. Die zweite Zeile zur dritten Zeile addieren





5. Wir erhalten:




6. Wir setzen für r ein und erhalten:





Wäre es evtl. möglich, diese Aufgabe mit Matrizenrechnung zu lösen (wobei die Matrix aber nicht invertierbar wäre, da es sich nicht um eine quadratische Matrix handelt) ? Und darf man im schriftlichen Abitur den Taschenrechner für solche Aufgaben verwenden ?
Mit freundlichem Gruß
AstroNerd
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt hast du es. Freude
Statt 7/2 kannst du gerne auch 3,5 schreiben (immerhin hast du 3/2 ja auch direkt zu 1,5 gemacht).
Und dann noch zusammenfassen, dann steht die Gerade da.
Wenn du nochmal etwas Zeit sparen willst, dann kannst du dir auch 2 deiner eben geposteten Matrizen sparen, indem du das Vervielfachen und anschließende Addieren in einem Rutsch machst.

Zitat:
Wäre es evtl. möglich, diese Aufgabe mit Matrizenrechnung zu lösen


Was genau meinst du damit ?
Du hast das ja bereits alles in eine Matrix geschrieben.
Da hier keine quadratische Matrix vorliegt, wird es ja nichts mit dem Einbezug von Inversen.

Zitat:
Und darf man im schriftlichen Abitur den Taschenrechner für solche Aufgaben verwenden ?


Das ist zum einen vom Bundesland abhängig und zum anderen davon, ob dein Taschenrechner überhaupt etwas mit nicht eindeutigen Lösungsmengen (unendlich viele Lösungen) anfangen kann.
Entsprechende CAS oder GTR zeigen einem für sowas in der Tat auch schon Ergebnisse an, mit denen man sich einige Umformungen schenken kann.

Im Abi wirst du jedoch bestimmt auch mal an irgendeiner Stelle zeigen müssen, dass du in der Lage bist, eine Ebene von Parameterform (PF) in Koordinatenform (KF) zu bringen.
Von daher ist es auch die Frage, ob es wirklich realistisch ist, dass du das wirklich mit diesem eben besprochenen Weg lösen musst.
Den Weg über die entsprechenden Koordinatenformen der beiden Ebenen (entsprechende Normalenvektoren dafür hast du ja bereits bestimmt), würd ich mir in jedem Fall auch nochmal anschauen.
Wenn du schon das Kreuzprodukt für Normalenvektoren benutzen darfst, dann ist das Umformen von PF in KF eigentlich ein Einzeiler pro Ebene.
Wie es dann weitergeht, hatte ich oben ebenfalls beschrieben.
AstroNerd Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine, es muss noch irgendwo in meiner Rechnung ein Fehler vorliegen. Der online Rechner (http://www.arndt-bruenner.de/mathe/geome...lygeo/index.htm) gibt mir ein anderes Ergebnis aus:



Ich scheitere immer wieder, das demotiviert mich leider.
Kannst Du meinen Fehler finden ?
Mit freundlichem Gruß
AstroNerd
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Es liegt nirgendwo ein Fehler vor.
Deine Gerade und die Gerade von diesem Programm sind identisch. Freude
Deine ist nur schöner (zumindest der Stützvektor), also verlass dich bloß nicht auf sowas. Augenzwinkern
Solche Programme achten meist nicht auf Eleganz oder schöne glatte Ergebnisse, sie spulen nur irgendeinen programmierten Algorithmus ab.

Deine Gerade lautet ja zusammengefasst

Man kann hier schon sehen, dass dein Richtungsvektor und der aus deinem Online-Rechner Vielfache sind, wodurch die beiden Geraden auf jeden Fall echt parallel oder identisch sein müssen.
Wenn du die Motivation hast, kannst du durch eine Punktprobe auch noch nachweisen, dass die Geraden auch wirklich identisch sind - aber glaub mir, es ist so. Freude
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein Hinweis:

wenn du 2 Ebenen in Parameterform hast, genügt es, irgend eine Relation zwischen 2 Parametern - von unterschiedlichen - Ebenen zu finden.

diese Relation kannst du in eine der Ebenen einsetzen, und fertig.
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