Maximum Likelihood Schätzer

19.09.2015, 15:26	springmaus95	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum Likelihood Schätzer Hallo Ihr Lieben, ich sitze nun schon den zweiten Tag an einer Aufgabe und komme einfach nicht vorran. Zunächst die Aufgabenstellung: Geben sei die folgende Wahrscheinlichkeitverteilung der Zufallsvariablen X: $\begin{eqnarray} <br /> x_{i} & 0 , 1 , 2 , 4 \\<br /> P(X=x_{i}) & \theta, 2\theta, 3\theta, 1-6\theta\\<br /> \end{eqnarray}$ Berechnen Sie aus der folgenden Zufallstichprobe den Maximum-Likelihood Schätzer $\begin{eqnarray} \hat{\theta} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> x_{1}=0; x_{2}=4; x_{3}=2; x_{4}=2; x_{5}=1.<br /> <br /> \end{eqnarray}$ So, fangen wir an: $\begin{eqnarray} <br /> L(\hat{\theta})=\hat{\theta}\cdot (1-6\hat{\theta})\cdot 3\hat{\theta}\cdot 3\hat{\theta}\cdot 2\hat{\theta}<br /> L(\hat{\theta})=18\hat{\theta}^{4}\cdot (1-6\hat{\theta})<br /> \end{eqnarray}$ Nun logarithmieren $\begin{eqnarray} <br /> log(L(\hat{\theta})) = log(18) + 4log(\hat{\theta}) + log(1 - 6\hat{\theta})<br /> \end{eqnarray}$ Und da endet sie auch schon, meine Reise. Ich hab keine Ahnung, wie ich weiter machen soll. Erbarmt sich jemand meiner und geht die Aufgabe kleinschrittig mit mir durch?
19.09.2015, 16:05	springmaus95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe gerade einen Tipp bekommen: $\begin{eqnarray} \frac{dlog(L(\hat{\theta}))}{d\hat{\theta}} = \frac{4}{\hat{\theta}} + \frac{1}{1-6\hat{\theta}} \cdot (-6) \end{eqnarray}$ Leider habe ich keine Ahnung, wie ich darauf komme. Ich erkläre es mir so, dass ich Multiplikator (die vier aus $\begin{eqnarray} ...+4log(\hat{\theta})... \end{eqnarray}$ ) nehme und auf den Bruchstrich setze. Gleiches mit dem $\begin{eqnarray} ...log(1-6\hat{\theta}) \end{eqnarray}$ . Aber was passiert mit der $\begin{eqnarray} log(18) \end{eqnarray}$ und wo kommt die $\begin{eqnarray} ... \cdot (-6) \end{eqnarray}$ her?
19.09.2015, 16:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht hier um eine normale Extremwertaufgabe "Maximierung des Logarithmus der Likelihoodfunktion", und zum Zwecke des Auffindens lokaler Extremstellen bildet man nun mal die Ableitung der zu maximierenden Funktion. Es fällt mir irgendwie schwer zu glauben, dass du solche Aufgaben bearbeitest und nicht weißt, wie man die Ableitung einer solch einfachen Funktion berechnet?
19.09.2015, 16:51	springmaus95	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh Gott, ich bin so doof. Natürlich, das ist ja eine Ableitung. Hab mich in Mathe eher schlecht als recht durchgemogelt und es ist schon etwas her. Daher konnte ich mit $\begin{eqnarray} \frac{dlog(L(\hat{\theta}))}{d\hat{\theta}} \end{eqnarray}$ nix anfangen. Jetzt läufts. Vielen lieben Dank.
19.09.2015, 19:12	springmaus95	Auf diesen Beitrag antworten »
Um das hier zu einem Ende zu bringen: Nach dem Ableiten war es ja ganz leicht. $\begin{eqnarray} \frac{dlog(L(\hat{\theta}))}{d\hat{\theta}} = \frac{4}{\hat{\theta}} + \frac{1}{1-6\hat{\theta}} \cdot (-6)<br /> <br /> =\frac{4}{\hat{\theta}} - \frac{6}{1-6\hat{\theta}}<br /> <br /> \frac{4}{\hat{\theta}} - \frac{6}{1-6\hat{\theta}}\overset{!}{=}0<br /> <br /> \frac{4}{\hat{\theta}} = \frac{6}{1-6\hat{\theta}}<br /> <br /> \frac{\hat{\theta}}{4} - \frac{1-6\hat{\theta}}{6} \| \cdot4 \|\cdot6<br /> \Rightarrow 6\hat{\theta}=4-24\hat{\theta} \| +24\hat{\theta}<br /> \hat{\theta}=\frac{2}{15} \end{eqnarray}$ Wenn mir jemand das bestätigen könnte wär ich für heute durch und könnte die Aufgabe endlich abschließen.

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