Ein Integral und zwei mögliche Stammfunktionen

19.09.2015, 19:14

Levaru

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Ein Integral und zwei mögliche Stammfunktionen

Meine Frage:
Ich bin auf folgendes Integral gestoßen und bin verwirrt warum man, je nachdem ob man die 1/2 herauszieht oder nicht, auf zwei verschieden Ergebnisse kommt?!! [attach]39104[/attach]

Meine Ideen:
Ich bin ehrlich ratlos. Hab beide Wege durchgerechnet und auf den ersten Blick keine Fehler gefunden...

19.09.2015, 19:58

Telperien

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RE: Ein Integral und zwei mögliche Stammfunktionen?!!
Interessant, da wenn du beide Integrale getrennt voneinander eingibst wolfram beide Male die selbe Stammfunktion ausgibt verwirrt

verwirrt

19.09.2015, 20:07

Leopold

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$\begin{align*} \log(\gamma x) = \log x + \underbrace{\log \gamma}_C \end{align*}$

19.09.2015, 20:10

Levaru

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} \log(\gamma x) = \log x + \underbrace{\log \gamma}_C \end{align*}$

Ich verstehe nicht wie das hier anwendbar ist?

19.09.2015, 20:12

Telperien

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} \log(\gamma x) = \log x + \underbrace{\log \gamma}_C \end{align*}$

Das mag sein, nur müsste das das Programm normalerweise nicht erkennen? Theoretisch kann ja bei beiden Stammfunktionen eine beliebige Konstante addiert werden.
Und wie gesagt, gibt man beides getrennt voneinander ein, kann er auch beide korrekt berechnen und kommt auf das selbe Ergebnis.

19.09.2015, 20:13

Telperien

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Zitat:

Original von Levaru

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} \log(\gamma x) = \log x + \underbrace{\log \gamma}_C \end{align*}$

Ich verstehe nicht wie das hier anwendbar ist?

Du kannst bei dem Log wo mit 2 multipliziert wird diese als log(2) hinten dran setzen und als Konstante sehen, die bei der Ableitung dann wegfallen würde.

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19.09.2015, 20:15

Leopold

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$\begin{align*} \log \left( \underbrace{2}_{\gamma} \cdot \underbrace{\left( x^3 - 2x + 1 \right)}_{\tilde{x}} \right) \end{align*}$

Unbestimmte Integrale sind stets nur bis auf eine additive Konstante eindeutig. In diesem Sinne ist auch das Gleichheitszeichen zu verstehen: Funktionsgleichheit bis auf eine additive Konstante. Das steht ein bißchen im Gegensatz zur üblichen Auffassung des Gleichheitszeichens.

19.09.2015, 20:15

Levaru

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Zitat:

Original von Telperien

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} \log(\gamma x) = \log x + \underbrace{\log \gamma}_C \end{align*}$

Das mag sein, nur müsste das das Programm normalerweise nicht erkennen? Theoretisch kann ja bei beiden Stammfunktionen eine beliebige Konstante addiert werden.
Und wie gesagt, gibt man beides getrennt voneinander ein, kann er auch beide korrekt berechnen und kommt auf das selbe Ergebnis.

Welche von den beiden ist denn nun die "wahrlich" richtige? Laut Übungsbuch ist die linke Stammfunktion die korrekte obwohl nach meiner Berechnung nichts gegen die rechte spricht. Diese rechte wird auch von Wolfram ausgegeben.

19.09.2015, 20:18

Telperien

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Beide sind in dem Sinne korrekt, da sie unbestimmt sind. Da bei der linken hinten +log(2) angehängt ist, bei der rechten nicht.
Würdest du jetzt die Ableitung bilden würde dies wieder wegfallen und du würdest beide Male die Ausgangsfunktion erhalten. Wink

Wink

19.09.2015, 20:20

Leopold

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Unter den vielen Stammfunktionen einer Funktion gibt es nicht "die richtige".

$\begin{align*} \int x^2 ~ \dd x = \frac{1}{3} x^3 - 4711 \end{align*}$

$\begin{align*} \int x^2 ~ \dd x = \frac{1}{3} x^3 + 2015 \end{align*}$

Beide Formeln sind korrekt.

19.09.2015, 20:31

HAL 9000

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Ich möchte mal noch anmerken, dass beide angegebenen Stammfunktionen nicht den gesamten Definitionsbereich des Integranden abdecken (z.B. wird x<-2 nicht erfasst). Es fehlen Betragszeichen, d.h. $\begin{align*} \frac{1}{2} \log|x^3-2x+1| + c \end{align*}$ , um auch diese Bereiche zu erfassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.09.2015, 20:39

Levaru

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Zitat:

Original von Telperien
Beide sind in dem Sinne korrekt, da sie unbestimmt sind. Da bei der linken hinten +log(2) angehängt ist, bei der rechten nicht.
Würdest du jetzt die Ableitung bilden würde dies wieder wegfallen und du würdest beide Male die Ausgangsfunktion erhalten. Wink

Wink

Ach, So ist das also gemeint! Wenn denn nun aber ein Bereich gegeben wäre würde sich dann die log(2) nun "wegsubtrahieren" und somit würde auf beiden Seiten das gleiche Ergebniss rauskommen korrekt?

19.09.2015, 20:47

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich möchte mal noch anmerken, dass beide angegebenen Stammfunktionen nicht den gesamten Definitionsbereich des Integranden abdecken (z.B. wird x<-2 nicht erfasst). Es fehlen Betragszeichen, d.h. $\begin{align*} \frac{1}{2} \log|x^3-2x+1| + c \end{align*}$ , um auch diese Bereiche zu erfassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann möchte ich noch anmerken, daß selbst das nicht alle Stammfunktionen sind, jedenfalls nicht über dem maximalen Definitionsbereich $\begin{align*} D \end{align*}$ . Dieser zerfällt in drei offene Intervalle:

$\begin{align*} D = I_1 \cup I_2 \cup I_3 \end{align*}$

Sämtliche Stammfunktionen sind nun

$\begin{align*} F_{a,b,c}(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} \cdot \log \left| x^3 - 2x + 1 \right| + a, & x \in I_1 \\ \frac{1}{2} \cdot \log \left| x^3 - 2x + 1 \right| + b, & x \in I_2 \\ \frac{1}{2} \cdot \log \left| x^3 - 2x + 1 \right| + c, & x \in I_3\end{cases} \end{align*}$

mit unabhängig voneinander wählbaren Konstanten $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Meine Bemerkung

Zitat:

Original von Leopold
Unbestimmte Integrale sind stets nur bis auf eine additive Konstante eindeutig.

bezog sich unausgesprochen (oder fahrlässigerweise?) auf auf Intervallen definierte Funktionen.

19.09.2015, 20:55

HAL 9000

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@Leopold

Genau genommen sind es nicht drei, sondern vier Intervalle:

$\begin{align*} \left(-\infty,\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},1\right) \cup (1,\infty) \end{align*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.09.2015, 20:59

Leopold

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Jetzt ist's "noch richtiger". Drei Nullstellen - drei Intervalle. Das war etwas zu kurz gesprungen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.09.2015, 21:34

Levaru

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Jetzt bin ich komplett raus aber ich weiß jetzt Bescheid über nötigste und das reicht mir LOL Hammer

LOL Hammer

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