Vergleich Topologien, Kofinit, Euklidische, <

20.09.2015, 22:26

StrunzMagi

Vergleich Topologien, Kofinit, Euklidische, <

Meine Frage:
Zeige auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
(i) $\begin{eqnarray*} O_{cof} \le O_n \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} O_{<} \le O_n \end{eqnarray*}$
(iii) $\begin{eqnarray*} O_{cof}, O_{<} \end{eqnarray*}$ sind unvergleichbar

Wobei $\begin{eqnarray*} O_{cof} :=\{A \subseteq \mathbb{R} | X\setminus A \mbox{ endlich }\} \cup \emptyset \end{eqnarray*}$ die kofinite Topologie und $\begin{eqnarray*} O_{<} \end{eqnarray*}$ besteht aus allen Intervallen der Form $\begin{eqnarray*} (-\infty, a) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ beliebig zusammen mit $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} O_n := \{O \subseteq \mathbb{R}| \forall x \in O \exists \epsilon>0: (x-\epsilon, x+\epsilon) \subseteq O \} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
i)
Sei $\begin{eqnarray*} O \in O_{cof} \end{eqnarray*}$
Fall 1 $\begin{eqnarray*} O= \emptyset \Rightarrow O \in O_n \end{eqnarray*}$
Fall 2 $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \setminus O \end{eqnarray*}$ endlich, d.h. $\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb{N}: \mathbb{R} \setminus O= \{r_1,r_2,..,r_n\} \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} x \in O \end{eqnarray*}$
ZZ.: $\begin{eqnarray*} \exists \epsilon: U_{\epsilon} (x) \subseteq O \end{eqnarray*}$
Überlegung: Ich wähle Epsilon kleiner als den kleinsten Abstand zwischen x und $\begin{eqnarray*} \{r_1,r_2,..,r_n\} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \epsilon:= \min \{|x-r_i| : i \in \{1,..,n\} \} \end{eqnarray*}$
ZZ.: $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon} (x) \subseteq \mathbb{R} \setminus O \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} y \in U_{\epsilon} (x) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} |x-y|<\min \{|x-r_i| : i \in \{1,..,n\} \} \end{eqnarray*}$
Wäre $\begin{eqnarray*} y \not\in O \Rightarrow \exists i \in \{1,..,n\}: y=r_i \end{eqnarray*}$ Würde Minimaleigenschaft widersprechen.

(ii)
Sei $\begin{eqnarray*} O \in O_{<} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} O=(-\infty,a) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Die trivialen Fälle $\begin{eqnarray*} O=\emptyset, O=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sind klar.
ZZ.: $\begin{eqnarray*} \forall x\in (-\infty,a) \exists \epsilon>0: U_{\epsilon} (x) \subseteq (-\infty,a) \end{eqnarray*}$
Wähle $\begin{eqnarray*} \epsilon :=\frac{|x-a|}{2} \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} y \in U_{\epsilon} (x): |x-y| < \frac{|x-a|}{2} \end{eqnarray*}$
gZZ.: $\begin{eqnarray*} y \in (-\infty,a) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} y<a \end{eqnarray*}$
Das krieg ich aber irgendwie nicht hin:/

(iii)
$\begin{eqnarray*} O=(-\infty, a) \in O_{<} \end{eqnarray*}$ ABer $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \setminus O = [a,\infty[ \end{eqnarray*}$ unendlich und somit ist O nicht offen in $\begin{eqnarray*} O_{cof} \end{eqnarray*}$
Ich suche noch eine offene Menge in $\begin{eqnarray*} O_{cof} \end{eqnarray*}$ die nicht offen ist in $\begin{eqnarray*} O_{<} \end{eqnarray*}$ .
Ich hatte gedacht an $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \setminus \{0\}= (-\infty,0) \cup (0, \infty) \end{eqnarray*}$ aber wie zeige, ich dass diese Menge nicht offen ist in $\begin{eqnarray*} O_{<} \end{eqnarray*}$ ? Praktisch ist es mir klar aber mir fehlt ein "schöner" Beweis.

20.09.2015, 22:44

Guppi12

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Hallo,

i) ist richtig.

bei ii) kannst du $\begin{eqnarray*} y-x\leq|x-y| \end{eqnarray*}$ verwenden und überlege dir, warum $\begin{eqnarray*} |x-a| = a-x \end{eqnarray*}$ , damit kommst du zum Ziel. Etwas einfacher machst du es dir aber, wenn du $\begin{eqnarray*} \epsilon := |x-a| \end{eqnarray*}$ wählst.

bei dem, was dir zu iii) fehlt, kannst du argumentieren, dass alle Elemente von $\begin{eqnarray*} O_< \end{eqnarray*}$ konvex sind.

21.09.2015, 08:37

StrunzMagi

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Hallo,
Zu (ii)
Wie kommtst du auf $\begin{eqnarray*} y-x \le |x-y| \end{eqnarray*}$ ?
Ich komme nur mit umgekehrte Dreiecksungleichung: $\begin{eqnarray*} y - |x| \le |y|-|x| \le | |x|-|y|| \le |x-y| \end{eqnarray*}$

Zu (iii)
Konvexität hatten wir in dem Zusammenhang nicht nur bezüglich Funktionen in der Analysis.
$\begin{eqnarray*} \forall A,B \in \mathcal{O}_{<}, \forall r \in [0,1]: r A + (1-r) B \in \mathcal{O}_{<} \end{eqnarray*}$
Wobei $\begin{eqnarray*} A:=(-\infty,a), B=(-\infty,b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
ZZ.: $\begin{eqnarray*} \exists C:=(\infty, c): \forall x \in (- \infty,a), \forall y\in(-\infty,b) \in \mathcal{O}_{<} : rx +(1-r)y \in C \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} r \in [0,1] \end{eqnarray*}$

21.09.2015, 10:36

Guppi12

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Zitat:

Wie kommtst du auf $\begin{eqnarray*} y-x \le |x-y| \end{eqnarray*}$ ?

Das folgt direkt aus der Definition des Betrags. Unterscheide die Fälle $\begin{eqnarray*} x-y\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-y< 0 \end{eqnarray*}$

zu iii) du musst es ja nicht so nennen. Zeige einfach, dass, wenn $\begin{eqnarray*} O\in O_< \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} x\in O \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} y\in O \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y<x \end{eqnarray*}$ . Das gilt für deine ausgewählte Menge in $\begin{eqnarray*} O_{cof} \end{eqnarray*}$ aber nicht.

26.09.2015, 16:54

StrunzMagi

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Ich habe vergessen, mich zu bedanken und somit das Thema abzuschließen Augenzwinkern

Alles ist nun klar.

LG,
MaGi

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