Integrationsrechnungen

20.09.2015, 23:23

skulpt

Integrationsrechnungen

Hi, ich habe hier einige Probleme bei allen möglichen Arten von der Integration und ich werde einfach nicht schlau aus dem ganzen Zeug hier. Ich bitte um jegliche mögliche Hilfe.

1)Auf Konvergenz untersuchen:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}\frac{2x-1}{3x^{3}+2x^{2}+3x+5}dx \end{eqnarray*}$
Fehlt mir leider jeglicher Ansatz. Partialbruchzerlegung bringt da nix. Mit Polynomdivision komm ich auch nicht weiter. Irgendwie zu substituieren, dass ich den Zähler wegkrieg, geht auch nicht wirklich.
Mit Majoranten komm ich da auch nicht weiter, da ich dann am Ende immer mit 1/0 dasteh.

2) Konvergenz mithilfe des Integrationskriteriums:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n\geq 0}^{}\frac{n}{\sqrt{(1+n^{2})^{3}}} \end{eqnarray*}$
Ich brauch hier ja folgendes: Es muss eine nicht-negative und monoton fallende Funktion sein. Sollte sie beides sein. Dann ist das uneigentliche Integral $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ konvergent, wenn die Funktion als Reihe konvergiert. Gut, da ich hier die Funktion hab, schätz ich mal, ich soll das Ding versuchen zu integrieren. Ich substituiere $\begin{eqnarray*} 1+n^{2}=u \end{eqnarray*}$ und komme irgendwann auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} \end{eqnarray*}$ unterm Integral. Gut, daran bleib ich stecken und komm nicht weiter.

3) Berechnen sie $\begin{eqnarray*} \lim_{n->\infty}\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k(n-k)} \end{eqnarray*}$ durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen. Man substituiere im auftetenden Integral $\begin{eqnarray*} x=\frac{1+t}{2} \end{eqnarray*}$
Mein Problem: Ich hab leider nix konkretes zu Riemannschen Zwischensummen bei mir in meinem Lehrbuch. Die werden nur ein mal erwähnt, sonst nichts. Und aus den Wiki-Einträgen werd ich bezüglich dieses Beispiels auch nicht umbedingt schlau.

21.09.2015, 08:28

klarsoweit

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RE: Integrationsrechnungen

Zitat:

Original von skulpt
Mit Majoranten komm ich da auch nicht weiter, da ich dann am Ende immer mit 1/0 dasteh.

Da die Funktion auf dem Intervall [0; 1] in jedem Fall integrierbar ist, reicht es, das Integral $\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty}\frac{2x-1}{3x^{3}+2x^{2}+3x+5}dx \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Und da findest du ganz leicht eine Majorante.

Zitat:

Original von skulpt
Ich substituiere $\begin{eqnarray*} 1+n^{2}=u \end{eqnarray*}$ und komme irgendwann auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} \end{eqnarray*}$ unterm Integral. Gut, daran bleib ich stecken und komm nicht weiter.

Wieso? Da findet man doch ganz leicht eine Stammfunktion. Tipp: schreibe den Integranden um in $\begin{eqnarray*} u^m \end{eqnarray*}$ , wobei m ein geeigneter Exponent ist. smile

Zu Aufgabe 3 habe ich im Moment keine gute Idee. Ist das eigentlich Schulmathe?

21.09.2015, 10:38

HAL 9000

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Na bei 3) kann man ein $\begin{align*} \frac{1}{n} \end{align*}$ unter die Wurzel ziehen, d.h. man erhält

$\begin{align*} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \sqrt{k(n-k)} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{k}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right)} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{x_k(1-x_k)} \end{align*}$ mit $\begin{align*} x_k:=\frac{k}{n} \end{align*}$

Für festes $\begin{align*} n \end{align*}$ sind die $\begin{align*} x_k \end{align*}$ die rechten Intervallrandpunkte einer gleichabständigen Zerlegung des Intervalls $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ in $\begin{align*} n \end{align*}$ Teilintervalle. Der besagte Term ist damit eine Riemannsche Summe des Integrals $\begin{align*} \int\limits_0^1 \sqrt{x(1-x)} ~ \dd x \end{align*}$ . Da $\begin{align*} x\mapsto \sqrt{x(1-x)} \end{align*}$ nicht monoton ist, kann man das weder als Unter- noch als Obersumme bezeichnen, daher wohl die Verwendung des Begriffs "Zwischensumme" (die mir ehrlich gesagt weniger geläufig ist). Aber auch diese Zwischensummen konvergieren ja für $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ gegen den Integralwert.

EDIT: Kleine symbolische Korrektur ( $\begin{align*} \mapsto \end{align*}$ statt $\begin{align*} \to \end{align*}$ bei der Integrandenfunktion). Augenzwinkern

21.09.2015, 10:56

skulpt

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Zitat:

Original von klarsoweit
Da die Funktion auf dem Intervall [0; 1] in jedem Fall integrierbar ist, reicht es, das Integral $\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty}\frac{2x-1}{3x^{3}+2x^{2}+3x+5}dx \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Und da findest du ganz leicht eine Majorante.

Wieso? Da findet man doch ganz leicht eine Stammfunktion. Tipp: schreibe den Integranden um in $\begin{eqnarray*} u^m \end{eqnarray*}$ , wobei m ein geeigneter Exponent ist. smile

Zu Aufgabe 3 habe ich im Moment keine gute Idee. Ist das eigentlich Schulmathe?

1) Danke, ich dachte, fürs benutzen der Majorante MUSS ich im Integral vom Bereich 0 bis inf sein.
2) Ja, ich habs heute auf klaren Kopf auch bemerkt. War gestern zu sehr darauf versessen, auf die selbe Antwort wie Wolfram Alpha zu kommen, ohne zu merken, dass das nur eine ungekürzte Lösung war.
3) Eigentlich nicht, ich hab aber auch grad gesehen, dass ich aus versehen in Schulmathematik gepostet hab.

Zitat:

Original von HAL 9000
Na bei 3) kann man ein $\begin{align*} \frac{1}{n} \end{align*}$ unter die Wurzel ziehen, d.h. man erhält

$\begin{align*} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \sqrt{k(n-k)} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{k}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right)} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt{x_k(1-x_k)} \end{align*}$ mit $\begin{align*} x_k:=\frac{k}{n} \end{align*}$

Für festes $\begin{align*} n \end{align*}$ sind die $\begin{align*} x_k \end{align*}$ die rechten Intervallrandpunkte einer gleichabständigen Zerlegung des Intervalls $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ in $\begin{align*} n \end{align*}$ Teilintervalle. Der besagte Term ist damit eine Riemannsche Summe des Integrals $\begin{align*} \int\limits_0^1 \sqrt{x(1-x)} ~ \dd x \end{align*}$ . Da $\begin{align*} x\to \sqrt{x(1-x)} \end{align*}$ nicht monoton ist, kann man das weder als Unter- noch als Obersumme bezeichnen, daher wohl die Verwendung des Begriffs "Zwischensumme" (die mir ehrlich gesagt weniger geläufig ist). Aber auch diese Zwischensummen konvergieren ja für $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ gegen den Integralwert.

Danke, macht annährend Sinn.

24.09.2015, 16:00

skulpt

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RE: Integrationsrechnungen

Zitat:

Ich komm hier bem Beispiel einfach nicht weiter, daher:
Eine Frage habe ich hierzu. Die Definition in meinem Buch zum Majorantenkriterium bei uneigentlichen Integralen schaut so aus:
Seien f und g stückweise stetige funktionen auf $\begin{eqnarray*} [0, \infty) \end{eqnarray*}$ und gelte |f(x)| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ g(x) für alle $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}g(x)dx \end{eqnarray*}$ konvergent, so ist $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}f(x)dx \end{eqnarray*}$ ebenfalls konvergent.

So, jetzt stellt sich hier die Frage: abhängig davon, wie sehr ich mich an diese Definition halten muss, besonders bezüglich der Integralsgrenzen. Wenn ich mich wirklich an die 0 halten muss, könnte es schwer werden, da auf die Schnelle eine Majorante zu finden. Wenn |f(x)| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ g(x) für alle x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1 gelten soll, hab ich folgende Idee:

Ich nehme $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}\frac{3x}{x^{3}} \end{eqnarray*}$ als zweites Integral her. Darauf wende ich das Integralkriterium an: $\begin{eqnarray*} \sum \frac{3x}{x^{3}} => 3\sum \frac{1}{x^{2}}=>\frac{3\pi^{2}}{6} \end{eqnarray*}$
Somit konvergiert $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}\frac{3x}{x^{3}} \end{eqnarray*}$ , also konvergiert $\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty}\frac{2x-1}{3x^{3}+2x^{2}+3x+5}dx \end{eqnarray*}$ .

Ich weiss nur leider nicht, ob ich das überhaupt richtig durchdenke, oder ob das ein kompletter Stuss ist.

24.09.2015, 17:17

skulpt

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Ich würde editieren, wenn ich es könnte - daher ein neuer Post.
Ich hab grad das Problem in meiner Denkweise entdeckt - ich habe nämlich beim Majoranten/Minorantenkriterium bei Integralen immer aus irgendeinem Grund an Konvergenzen von Reihen gedacht - da das ganze ja mit Folgenkonvergenz zu bewerkstelligen ist, fällt das Problem fürs erste weg.

24.09.2015, 17:37

HAL 9000

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Das mit der Null ist unwesentlich, du kannst das ganze auch mit variabler unterer Grenze betrachten, d.h.

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ stückweise stetige funktionen auf $\begin{eqnarray*} [a, \infty) \end{eqnarray*}$ und es gelte $\begin{eqnarray*} |f(x)|\leq g(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \geq a \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} \int_a^{\infty}g(x)dx \end{eqnarray*}$ konvergent, so ist $\begin{eqnarray*} \int_a^{\infty}f(x)dx \end{eqnarray*}$ ebenfalls konvergent.

Ist lediglich eine simple Verschiebung, und mit einer solchen auch aus der anderen Aussage ableitbar.

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