Rechnen mit Summen

20.09.2015, 23:30

Lara_mag_Chemie

Rechnen mit Summen

Hallo

Ich habe folgende Summe gegeben und soll diese umschreiben.

$\begin{eqnarray*} - \dfrac{1}{2} \sum\limits_{j=1}^{N} \sum\limits_{i=1}^{N} W_{ij} (2x_i -1) (2x_j -1) + \sum\limits_{i=1}^{N} \Theta_i (2x_i-1) \end{eqnarray*}$

Soweit bin ich gekommen:

$\begin{eqnarray*} - \dfrac{1}{2} \sum\limits_{j=1}^{N} \sum\limits_{i=1}^{N} W_{ij} \left( 4x_i x_j -2x_i -2x_j +1 \right) + \sum\limits_{i=1}^{N} 2x_i \Theta_i - \Theta_i \end{eqnarray*}$

Nun weiss ich nicht mehr weiter. Was könnte ich nun machen?

Danke für eure Hilfe.

21.09.2015, 09:07

Elvis

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Summationsreihenfolge der Doppelsumme vertauschen und die zweite Summe sowie den Vorfaktor darunterziehen.

21.09.2015, 10:19

HAL 9000

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Was soll "umschreiben" bedeuten? Wenn die $\begin{align*} x_i, W_{ij},\Theta_i \end{align*}$ allgemeine Parameter sind, gibt es m.E. zumindest keine Chance, irgendwas zu vereinfachen (etwa, die Doppelsumme aufzulösen o.ä.).

Was also soll das Ziel eines solchen Umschreibens sein? verwirrt

07.10.2015, 10:04

Lara_mag_Chemie

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Ich bin nun soweit gekommen, dass ich die Summe soweit zerlegt habe:

$\begin{eqnarray*} = -2 \sum\limits_{j=1}^{N} ~ \sum\limits_{i=1}^{N} w_{ij}x_i x_j + \sum\limits_{j=1}^{N} ~ \sum\limits_{i=1}^{N} w_{ij}x_i + \sum\limits_{j=1}^{N} ~ \sum\limits_{i=1}^{N} w_{ij} x_j - \dfrac{1}{2} \sum\limits_{j=1}^{N} ~ \sum\limits_{i=1}^{N} w_{ij} + 2 \sum\limits_{i=1}^{N} \Theta_i x_i - \sum\limits_{i=1}^{N} \Theta_i \end{eqnarray*}$

Meine Fragen wären nun:

1.) Stimmt das was ich gerechnet habe?

2.) Kann man dies noch weiter umformen?

@Elvis
Was genau meinst du was ich noch machen kann? Ich verstehe nicht ganz was du meinst.

Danke für die Hilfe und Grüße

07.10.2015, 10:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lara_mag_Chemie
$\begin{eqnarray*} = -2 \sum\limits_{j=1}^{N} ~ \sum\limits_{i=1}^{N} w_{ij}x_i x_j + \sum\limits_{j=1}^{N} ~ \sum\limits_{i=1}^{N} w_{ij}x_i + \sum\limits_{j=1}^{N} ~ \sum\limits_{i=1}^{N} w_{ij} x_j - \dfrac{1}{2} \sum\limits_{j=1}^{N} ~ \sum\limits_{i=1}^{N} w_{ij} + 2 \sum\limits_{i=1}^{N} \Theta_i x_i - \sum\limits_{i=1}^{N} \Theta_i \end{eqnarray*}$

Meine Fragen wären nun:

1.) Stimmt das was ich gerechnet habe?

Sofern $\begin{align*} w_{ij}=W_{ij} \end{align*}$ , stimmt die Umformung, nur was bringt es? Statt einer Doppelsumme und einer Einfachsumme hast du nun vier Doppelsummen und zwei Einfachsummen, und bei allen sechs ist keine Vereinfachung (hinsichtlich Wegfall der einen oder anderen Summation) zu erreichen.

Daher kann ich auf die Frage

Zitat:

Original von Lara_mag_Chemie
2.) Kann man dies noch weiter umformen?

nur wiederholen:

Zitat:

Original von HAL 9000
Was also soll das Ziel eines solchen Umschreibens sein? verwirrt

07.10.2015, 13:25

Elvis

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$\begin{eqnarray*} - \dfrac{1}{2} \sum\limits_{j=1}^{N} \sum\limits_{i=1}^{N} W_{ij} (2x_i -1) (2x_j -1) + \sum\limits_{i=1}^{N} \Theta_i (2x_i-1)= \sum\limits_{i=1}^{N} (2x_i -1)[\Theta_i - \dfrac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^{N}W_{ij} (2x_j -1)] \end{eqnarray*}$

Immerhin ist aus einer Summe aus einer Doppelsumme über j und i und einer Summe über i eine Summe über i geworden: "Ein kleiner Schritt für mich und ein winzig kleiner Schritt für die Menschheit." Augenzwinkern

07.10.2015, 15:18

HAL 9000

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Jo, das wäre die einzige Vereinfachung, die ich als solche hier akzeptiere. Big Laugh

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