Warum nur abzählbare Vereinigungen wieder in der Sigma Algebra?

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Warum nur abzählbare Vereinigungen wieder in der Sigma Algebra?
Meine Frage:
Hallo Leute,

warum fordere ich bei der Definition einer Sigma Algebra eigentlich nur, dass abzählbare Vereinigungen wieder drin liegen?

Also was wäre, wenn ich auch überabzählbare Vereinigungen zu lasse das Problem?

Meine Ideen:
Ich nehme mal an, dass die Sigma Algebra deshalb nur abzählbare fordert, da sie dann gut mit der Sigma Additivität zusammen arbeitet. Ist das der Grund?

Wenn ich zum Beispiel das Lebesgue Maß auf betrachte, dann ist mir klar, dass in der Sigma Additivität nur abzählbare disjunkte Vereinigungen Sinn machen. Sonst hat man mit dem Lebesgue Maß ein Beispiel, dass dann kein Sinn ergeben würde..

aber



gelten würde

Gruß Stevie
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum nur abzählbare Vereinigungen wieder in der Sigma Algebra?
Der Grund liegt in der Messbarkeit. Die Eigenschaften der Sigma-Algebra, sind genau die Eigenschaften der messbaren Mengen. So sind z.B. Komplemente und abzählbare Vereinigungen von messbaren Mengen wieder messbar. Das gilt aber nicht für überabzählbare Vereinigungen. So lässt sich leicht die Vitali-Menge als überabzählbare Vereinigung von Punkten (messbaren Mengen) schreiben.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum nur abzählbare Vereinigungen wieder in der Sigma Algebra?
Danke, das mit der Vitali Menge ist ein gutes Argument Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Überhaupt ist generell unklar, wie man Summen mit überabzählbar vielen Summanden definieren soll. meines Wissens nach ist sowas wie nur dann definiert, wenn die Menge höchstens abzählbar ist und zuätzlich im Falle "abzählbar unendlich" die entstehende Reihe absolut konvergent ist.


Dass es selbst dann Ärger mit gewohnten Maßen geben kann, zeigt ja dein Beispiel . Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Letztlich ist ja die Integralrechnung unter geeigneten Voraussetzungen die Lösung des Problems. Obwohl jedes einzelne quasi ist (ich drücke mich absichtlich unklar aus), ist die Summe über alle mit dennoch :



Mit echten reellen Zahlen statt der infinitesimal-magischen funktioniert so etwas nicht.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mich nicht vertue, gilt auch folgendes:
Ist für alle mit beschränkt im Sinne, dass das für jede abzählbare Teilmenge gilt , so ist abzählbar. Dazu zerlegt man A in .

Aus der obigen Schranke folgt, dass für alle n nur endlich viele Elemente enthält. Da ist es als Vereinigung abzählbarbarer vieler endlicher Mengen abzählbar.

Daher hat man sich daher wohl nie die Mühe gemacht es allgemeiner zu definieren, weil es entweder "divergiert" oder effektiv über abzählbarviele Elemente summiert.
 
 
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