Sigma additiver Inhalt = Prämaß

21.09.2015, 17:34	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Sigma additiver Inhalt = Prämaß Meine Frage: Hallo Leute, in meinem Skript steht der Satz: " Ein Sigma - additiver Inhalt ist ein Prämaß." An dieser Äußerung stört mich folgendes: Eine Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ ist eine Teilmenge der Potenzmenge $\begin{eqnarray} \mathcal P(\Omega) \end{eqnarray}$ so dass gilt: $\begin{eqnarray} \Omega \in \mathcal A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \in \mathcal \Rightarrow A^c \in \mathcal A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A,B \in \mathcal A \Rightarrow A \cup B \in \mathcal A \end{eqnarray}$ Also ist eine Algebra quasi eine Sigma Algebra bei der wir nur fordern, dass endliche Vereinigungen (Induktion) wieder in dem Mengensystem liegen. Nun zur Definition des Inhaltes. Sei $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ eine Algebra. Eine Abbildung $\begin{eqnarray} i: \mathcal A \to [0, \infty] \end{eqnarray}$ heißt Inhalt, falls gilt: $\begin{eqnarray} i(\emptyset) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i(A \cup B) = i(A) + i(B) \end{eqnarray}$ Der Inhalt ist also insbesondere auf einer Algebra definiert. Ein, wie oben im Satz steht, sigma-additiver Inhalt ist nun ein Inhalt, für den gilt: $\begin{eqnarray} i(\bigcup_{j \in I} A_j) = \sum_{j \in I} i(A) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ abzählbar ist und $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ paarweise disjunkt Nun mein Problem! Ich darf ja in den Inhalt nur Sachen einsetzen, die auch in der Algebra liegen. Aber ich fordere ja nur endliche Vereinigungen bei der Definition einer Algebra. Also darf ich doch $\begin{eqnarray} i(\bigcup_{j \in I} A_j) \end{eqnarray}$ eigentlich gar nicht schreiben, weil ich ja nicht weiß, ob das wieder in der Algebra liegt. Meine Ideen: Verstehe ich da was falsch? Danke für die Hilfe EDIT: Ich könnte es mir so erklären. Angenommen ich habe ein Maß. Also eine Abbildung $\begin{eqnarray} \mu : \mathcal F \to [0, \infty] \end{eqnarray}$ . Dabei sei $\begin{eqnarray} \mathcal F \end{eqnarray}$ eine Sigma Algebra. Wenn ich jetzt statt $\begin{eqnarray} \mathcal F \end{eqnarray}$ einfach mal $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ verwende, also die Sigma Algebra durch die Algebra austausche, dann geht die Eigenschaft von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ sigma additiv zu sein ja nicht unbedingt verloren oder? Dann hätte ich quasi so was. Aber es macht für mich kein Sinn, eine Eigenschaft zu fordern, die ich nicht verwenden kann, weil ich die Menge nicht einsetzen darf Ich sehe gerade, dass bei Wikipedia auch immer nur von einem Mengensystem $\begin{eqnarray} \mathcal C \end{eqnarray}$ gesprochen wird, auf welcher der Inhalt definiert ist. Wenn ich ihn auf einer Algebra definiere, dann macht es doch echt kein Sinn oder?
21.09.2015, 18:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig - deswegen ist ein Prämaß ja auch noch kein Maß. Tatsächlich fordert man für die Sigma-Additivität eines Inhalts, dass die Gleichung $\begin{align} i\left( \bigcup\limits_{j\in I} A_j \right) = \sum_{j\in I} i(A_j) \end{align}$ nur für die paarweise disjunkten $\begin{align} A_j \end{align}$ mit $\begin{align} \bigcup\limits_{j\in I} A_j\in\mathcal{A} \end{align}$ gilt. Letztere Forderung ist natürlich bei Sigma-Algebren obsolet, weil von Haus aus erfüllt.

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