Inneres, Abschluss, Mengeninklusion

21.09.2015, 20:37

StrunzMagi

Inneres, Abschluss, Mengeninklusion

Hallo,
In der Übung haben wir gezeigt $\begin{eqnarray*} \overline{A \cup B}=\overline{A} \cup \overline{B} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A \cap B)^{\circ} =A^{\circ} \cap B^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

Es ist offensichtlich, dass gilt $\begin{eqnarray*} \overline{A \cap B} \subseteq \overline{A} \cap \overline{B} \end{eqnarray*}$ da:
$\begin{eqnarray*} A \cap B \subseteq A, A \cap B \subseteq B \Rightarrow \overline{A \cap B}\subseteq \overline{A}, \overline{A \cap B}\subseteq \overline{B} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \overline{A \cap B} \subseteq \overline{A} \cap \overline{B} \end{eqnarray*}$

Ebenso gilt $\begin{eqnarray*} A^{\circ} \cup B^{\circ} \subseteq (A \cup B)^{\circ} \end{eqnarray*}$

Gelten die anderen Inklusionen $\begin{eqnarray*} \overline{A}\cap \overline{B} \subseteq \overline{A\cap B} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A \cup B)^{\circ} \subseteq A^{\circ} \cup B^{\circ} \end{eqnarray*}$ im Allgemeinen nicht? (Gegenbeispiel?) Oder finde ich nur dazu nichts?
LG,
MaGi

21.09.2015, 20:43

Guppi12

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Hallo,

such lieber nach einem Gegenbeispiel. Fallen dir Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein, deren Schnitt leer ist, aber deren Abschluss jeweils ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist?

22.09.2015, 16:21

StrunzMagi

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Hallo,
Ich habe wahrscheinlich nicht, das Bsp., dass dir vorgeschwebt ist gefunden - aber es tut auch:
$\begin{eqnarray*} X= \mathbb{R}, \mathcal{O}= \tau_{d} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} d(x,y)=|x-y| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=(0,1), B=(1,2) \rightarrow \overline{A}=[0,1], \overline{B}=[1,2] \end{eqnarray*}$
So ist $\begin{eqnarray*} \overline{A \cap B}= \overline{\emptyset}=\emptyset \end{eqnarray*}$
Aber $\begin{eqnarray*} \overline{A}\cap \overline{B}=1 \end{eqnarray*}$

Analog mit $\begin{eqnarray*} A=[0,1], B=[1,2] \end{eqnarray*}$ für das Innere.

An welches Bsp hast du gedacht?
Gilt die Ungleichung in irgendwelchen speziellen Räumen?

LG,
MaGi

22.09.2015, 16:42

Guppi12

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Zitat:

Aber $\begin{eqnarray*} \overline{A}\cap \overline{B}=\{1\} \end{eqnarray*}$

so muss es natürlich. Ich hatte an $\begin{eqnarray*} A=\mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\mathbb R\setminus\mathbb Q \end{eqnarray*}$ gedacht. Dann hat man $\begin{eqnarray*} \overline{A\cap B} = \emptyset, \overline A\cap\overline B=\mathbb R \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} A^\circ\cup B^\circ = \emptyset, (A\cup B)^\circ = \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Gilt die Ungleichung in irgendwelchen speziellen Räumen?

Das weiß ich gerade nicht. So extrem gut kenne ich mich mit Topologie nicht aus. Denke aber, dass man schlechte Karten hat, denn in unseren Beispielen handelt es sich ja um einen endlich-dimensionalen Hilbertraum. Viel bessere Räume gibts ja fast nicht von den Eigenschaften her Big Laugh

Also es gibt natürlich einzelne Räume, die das erfüllen, aber mir ist keine Klasse solcher Räume bekannt.

22.09.2015, 17:13

StrunzMagi

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danke, das Beispiel ist natürlich noch besser, da es gleich beide Fälle abdeckt.

Liebe Grüße,
MaGi

22.09.2015, 17:21

10001000Nick1

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In jedem topologischen Raum $\begin{eqnarray*} (X,\tau) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tau\neq\mathcal{P}(X) \end{eqnarray*}$ findet man Mengen zwei $\begin{eqnarray*} A,B\subseteq X \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} \overline{A}\cap \overline{B} \subseteq \overline{A\cap B} \end{eqnarray*}$ nicht erfüllen:

Sei $\begin{eqnarray*} A\subseteq X \end{eqnarray*}$ eine nicht abgeschlossene Menge und $\begin{eqnarray*} x\not\in A \end{eqnarray*}$ ein Randpunkt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \{x\}=\overline{A}\cap\{x\}\subseteq \overline{A}\cap\overline{\{x\}} \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \overline{A\cap\{x\}}=\overline{\emptyset}=\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Ist dagegen $\begin{eqnarray*} \tau=\mathcal{P}(X) \end{eqnarray*}$ , dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} A,B\subseteq X \end{eqnarray*}$ sogar $\begin{eqnarray*} \overline{A}\cap \overline{B}=\overline{A\cap B} \end{eqnarray*}$ (weil ja dann jede Teilmenge von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist).

$\begin{eqnarray*} \overline{A}\cap \overline{B} \subseteq \overline{A\cap B} \end{eqnarray*}$ gilt also für alle Teilmengen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit der diskreten Topologie ausgestattet ist. (Diese Räume sind allerdings ziemlich langweilig. Augenzwinkern

)

Genauso ist es bei $\begin{eqnarray*} (A \cup B)^{\circ} \subseteq A^{\circ} \cup B^{\circ} \end{eqnarray*}$ : In einem topologischen Raum mit $\begin{eqnarray*} \tau\neq\mathcal{P}(X) \end{eqnarray*}$ nimmt man eine Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , die nicht gleichzeitig offen und abgeschlossen ist. Dann gilt $\begin{eqnarray*} (A \cup A^c)^{\circ}=X^\circ=X \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} A^\circ \cup (A^c)^\circ\subsetneq A \cup A^c=X \end{eqnarray*}$ .
In einem diskreten topologischen Raum ist diese Relation natürlich erfüllt (damit gilt dort Gleichheit).

Edit: Kleine Korrektur im letzten Teil eingebaut. Augenzwinkern

22.09.2015, 18:19

Guppi12

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Gute Überlegungen Freude

Danke für deinen Beitrag.

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