Bruchungleichung mit Betrag

22.09.2015, 14:43

Boom

Bruchungleichung mit Betrag

Hey Leute,

ich komme bei einer Übungsaufgabe nicht voran..

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{|-4x+\frac{3}{2}|} >1 \end{eqnarray*}$

Als Bedingung gilt $\begin{eqnarray*} x\neq \frac{3}{8} \end{eqnarray*}$

Um die Ungleichung zu lösen bin ich so an die Aufgabe rangegangen:

1. Fall
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{-4x+\frac{3}{2}} >1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2>-4x+\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4x>-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x>-\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

2.Fall
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{4x-\frac{3}{2}} >1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2>4x-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{7}{2}>4x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{7}{8} >x \end{eqnarray*}$

Sollte die Lösung dann nicht so heißen:

$\begin{eqnarray*} L = (-\infty ;-\frac{1}{8} ) \cup (\frac{7}{8} ;\infty ) \end{eqnarray*}$ ?

Die Lösung wird mir allerdings als falsch angezeigt. Ich berechne die Aufgabe um mich mal wieder mit der Elementarmathematik zur Studienvorbereitung zu beschäftigen.

Nun ist die Frage was mein Fehler ist...

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen! smile

22.09.2015, 14:54

Steffen Bühler

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Wenn eine Zahl größer ist als -1/8 und kleiner als 7/8, wo liegt sie dann?

Viele Grüße
Steffen

22.09.2015, 15:05

Boom

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Dann sollte die Zahl zwischen -1/8 und 7/8 liegen.

Heißt das, dass ich die Lösungsmenge falsch angegeben habe?

Ist das dann die Lösung?

$\begin{eqnarray*} L=(-1/8;\infty ) \cup (-\infty ;7/8) \end{eqnarray*}$

22.09.2015, 15:12

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Boom
Heißt das, dass ich die Lösungsmenge falsch angegeben habe?

Ja. Dein erster Versuch $\begin{align*} L = (-\infty ;-\frac{1}{8} ) \cup (\frac{7}{8} ;\infty ) \end{align*}$ sind alle Zahlen, die kleiner als -1/8 oder größer als 7/8 sind. Aber Du meinst doch genau die anderen!

Beim zweiten Versuch $\begin{align*} L=(-1/8;\infty ) \cup (-\infty ;7/8) \end{align*}$ vereinigst Du alles von -1/8 bis Unendlich (mal Dir mal einen grünen Strich auf den Zahlenstrahl!) mit allem von minus Unendlich bis 7/8 (und jetzt einen roten!). Zusammen also...?

22.09.2015, 15:20

Boom

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Ok, ich glaube jetzt habe ich es.

L=(-1/8;3/8) u (3/8;7/8)

22.09.2015, 15:23

Steffen Bühler

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Ja, das passt.

Viele Grüße
Steffen

22.09.2015, 15:27

Boom

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Danke!

Ist schon eine Weile her, dass ich mich zu letzt mit solchen Aufgaben beschäftigt habe....

22.09.2015, 16:47

HAL 9000

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Im vorliegenden Fall geht es auch einfacher: Multiplikation mit $\begin{align*} \frac{1}{4}\left|-4x+\frac{3}{2}\right| = \left|x-\frac{3}{8}\right|>0 \end{align*}$ liefert

$\begin{align*} \frac{1}{2} > \left|x-\frac{3}{8}\right| \quad\Leftrightarrow\quad -\frac{1}{2} < x-\frac{3}{8} < \frac{1}{2} \end{align*}$

letzteres bedeutet nach $\begin{align*} x \end{align*}$ umgestelllt $\begin{align*} -\frac{1}{8} < x < \frac{7}{8} \end{align*}$ . Allerdings muss das $\begin{align*} x\neq \frac{3}{8} \end{align*}$ noch beachtet werden, so dass die Lösungsmenge nur

$\begin{align*} \left(-\frac{1}{8},\frac{7}{8}\right) \setminus \left\{ \frac{3}{8} \right\} = \left(-\frac{1}{8},\frac{3}{8}\right) \cup \left(\frac{3}{8},\frac{7}{8}\right) \end{align*}$

ist.

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