Kofinite Topologie separabel?

23.09.2015, 06:41	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Kofinite Topologie separabel? Meine Frage: Ich verstehe noch nicht ganz warum die kofinite Topologie auf X: $\begin{eqnarray} O_{C_o}:=\{A \subseteq X \| X \setminus A \mbox{endlich}\} \cup \emptyset \end{eqnarray}$ separabel ist. Meine Ideen: Hallo, Ist X abzählbar ist es klar. Für X überabzählbar nimmt man laut Skript eine abzählbare Teilmenge von K. ZZ.: $\begin{eqnarray} \overline{K}=X \end{eqnarray}$ D.h. für jedes $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ und jede Umgebung $\begin{eqnarray} U \in U_{x} : U \cap K \not=\emptyset \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} U \in U_{x} \end{eqnarray}$ eine Umgebung von U, so folgt $\begin{eqnarray} U \in O_{C_o} \end{eqnarray}$ , D.h. $\begin{eqnarray} X\setminus U \end{eqnarray}$ ist endlich. Um jetzt $\begin{eqnarray} U \cap K \not= \emptyset \end{eqnarray}$ zu garantieren muss K eine unendlich abzählbare Menge sein. Aber eine abzählbare Menge kann doch auch endlich sein wenn K nur mit abzählbar betitelt wird? Danke, MaGi
23.09.2015, 09:11	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es funktioniert natürlich nicht, wenn $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ endlich ist. Es ist hier so gemeint, dass man $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ abzählbar unendlich wählt. Es gibt in diesem Kontext auch zwei verschiedene Terminologien. Die eine ist die, die du verwendest, 'abzählbar' bedeutet, entweder gleichmächtig zu $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ oder endlich und man sagt 'abzählbar unendlich', wenn man den endlichen Fall ausschließen will. Die andere Terminologie bezeichnet mit 'abzählbar' das, was du mit 'abzählbar unendlich' betitelst. Abzählbare Mengen können also nicht endlich sein. Will man das ausdrücken, was in der anderen Terminologie 'abzählbar' bedeutet, so sagt man 'höchstens abzählbar'. Ich nehme mal an, dass hier eben die zweite Terminologie gewählt wurde.
23.09.2015, 13:48	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dass du meine Verwirrung geklärt hast! LG, MaGi

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