Komplexe Differenzierbarkeit

23.09.2015, 09:30

Sunshine121

Komplexe Differenzierbarkeit

Hey

Ich will die Funktion
$\begin{eqnarray*} f: C \to C, f(x+iy) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} xy\neq 0 \end{eqnarray*}$ bzw
$\begin{eqnarray*} f(x+iy)=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} xy=0 \end{eqnarray*}$
auf komplexe Differenzierbarkeit untersuchen. Ich bin mir unsicher, wie ich vorgehen muss, da die Funktion zwei verschiedene Ergebnisse hat.

Normalerweise untersucht man die Funktion auf Realteil und Imaginärteil. Diese müssen dann auf reelle Differenzierbarkeit geprüft werden. Ist dies der Fall, darf man die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen anwenden (Partiellen Ableitungen)

Was muss ich aber nun hier machen? Darf ich einfach die Funktion für $\begin{eqnarray*} xy\neq 0 \end{eqnarray*}$ und danach für $\begin{eqnarray*} xy=0 \end{eqnarray*}$ untersuchen?

23.09.2015, 09:51

Telperien

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RE: Komplexe Differenzierbarkeit
Wenn die Funktion immer konstant 0 ist, außer bei xy=0, wo sie 1 ist, hast du dann nicht schon Probleme mit der Stetigkeit?
Aus nicht-stetig folgt auch nicht-diff.bar

23.09.2015, 09:59

Sunshine121

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Achsooo..
Kann man also sagen, die Funktion ist überall komplex differenzierbar mit Grenzwert 0, außer bei x=0 bzw y=0?

23.09.2015, 10:02

Sunshine121

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Oder kann man einfach sagen:
Da die Funktion nicht stetig ist, ist sie auch nicht komplex differenzierbar?

23.09.2015, 10:27

bijektion

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Zitat:

Da die Funktion nicht stetig ist, ist sie auch nicht komplex differenzierbar?

Die Funktion ist nicht überall unstetig, auf der Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ z\in\mathbb{C}~|~ \mathrm{Re} z\neq 0, \mathrm{Im} z\neq0\right\} \end{eqnarray*}$ ist sie sogar holomorph.

23.09.2015, 10:35

Sunshine121

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Danke für die Antwort!
Das sie holomorpf ist auf der angegebenen Menga habe ich mittlerweile verstanden! smile

Also bedeutet es, wenn man so eine Aufgabe vor sich hat, betrachtet man die zwei Ergebnisse getrennt und geht dann nach den oben genannten Schema vor?

23.09.2015, 10:44

bijektion

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Den Fall, dass $\begin{eqnarray*} \mathrm{Re}(z)\cdot \mathrm{Im}(z)\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, haben wir ja schon betrachtet. Jetzt bleibt noch der, dass $\begin{eqnarray*} \mathrm{Re}(z)\cdot \mathrm{Im}(z)= 0 \end{eqnarray*}$ . Du musst überprüfen ob der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h\in\mathbb{C}, h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h} \end{eqnarray*}$ existiert, was heißt es das der Grenzwert existiert?

27.09.2015, 14:12

Sunshine121

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Wenn der Grenzwert existiert, so konvergiert die Funktion gegen den Grenzwert..

Wenn ich nun zeigen kann, dass auch dieser Grenzwert 0 ist, bedeutet das dann, dass die Funktion auf ganz C komplex differenzierbar ist? und somit holomorph ist?

28.09.2015, 13:57

bijektion

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Zitat:

Wenn der Grenzwert existiert, so konvergiert die Funktion gegen den Grenzwert..

Welchen denn?

Wähle mal $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ , eine Nullfolge $\begin{eqnarray*} h_n=\frac{i}{n} \end{eqnarray*}$ und betrachte $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{f(z+h_n)-f(z)}{h_n} \end{eqnarray*}$ .

29.09.2015, 12:50

Sunshine121

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{f(z+h_n)-f(z)}{h_n}= \lim_{n\to\infty} \frac{f(1+\frac{i}{n} )-f(1)}{\frac{i}{n} }=\lim_{n\to\infty}f(1+0)-f(1)\cdot \frac{n}{i} = 0 \end{eqnarray*}$

Hier würde nach meiner Rechnung ein ein Grenzwert von 0 rauskommen.
Was kann ich daraus dann für die Funktion folgern? (Im Hinblick auf die komlexe Differenzierbarkeit)

02.10.2015, 20:52

Sunshine121

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Kann mir vllt jemand hier noch weiterhelfen, was ich daraus folgern kann? Wink

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