Dominierte Konvergenz beim Erwartungswert

23.09.2015, 10:03

Mathelover

Dominierte Konvergenz beim Erwartungswert

Hallo zusammen,

kann mir bitte jemand sagen, wo hier genau die dominierte Konvergenz eingeht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sigma^2}\mathbb{E}\left[ (X_1-a)^2 \ 1_{\left \{ |X_1-a| \ \geq \epsilon \sigma \sqrt{n} \right \} } \right] \end{eqnarray*}$

zur Vollständigkeit, es gilt: $\begin{eqnarray*} X_1, X_2,... \end{eqnarray*}$ u.i.v $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X_1^2) < \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma^2 < \infty \ \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} a := \mathbb{E}(X_1) \end{eqnarray*}$

Jetzt wird gesagt, nach dem Satz der dominierten Konvergenz gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sigma^2}\mathbb{E}\left[ (X_1-a)^2 \ 1_{\left \{ |X_1-a| \ \geq \epsilon \sigma \sqrt{n} \right \} } \right] \to 0 (n \to \infty ) \end{eqnarray*}$

Ich hätte es z.B. so begründet. Die Indikatorfunktion wird nie 1, wenn $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ , da der Ausdruck $\begin{eqnarray*} |X_1 - a| \end{eqnarray*}$ immer endlich ist, deshalb geht der Erwartungswert gegen 0.

Oder ist meine Begründung falsch?

23.09.2015, 19:01

1nstinct

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RE: Dominierte Konvergenz beim Erwartungswert

Zitat:

Die Indikatorfunktion wird nie 1, wenn $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ , da der Ausdruck $\begin{eqnarray*} |X_1 - a| \end{eqnarray*}$ immer endlich ist, deshalb geht der Erwartungswert gegen 0.

Die Frage die sich vorher stellt: Warum darf man denn überhaupt Integral und Limes vertauschen?

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