Grenzwertbildung

23.09.2015, 11:11

Kaffeevernichter

Grenzwertbildung

Hallo,

ich versuche folgenden Grenzwert zu berechnen, weiß jedoch leider nicht wie.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (\sqrt{(x+a)(x+b)} -x) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz: Funktion erweitern und dann die Formel von de l'Hospital verwenden.
Erweitert habe ich mit dem Wurzelausdruck, also $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+a)(x+b)} \end{eqnarray*}$

Damit komme ich aber auf keinen grünen Zweig...

Ich weiß von Wolfram Alpha, dass das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ sein sollte.

Lg der schon etwas verzweifelte Eugen

23.09.2015, 11:29

Guppi12

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Hallo und herzlich Willkommen im Forum Wink

versuche mal, mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+a)(x+b)}+x \end{eqnarray*}$ zu erweitern und schau, ob du damit weiterkommst.

23.09.2015, 11:54

Kaffeevernichter

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Hallo,

danke für die flotte Antwort. Ich habe deinen Tipp gleich mal Ausprobiert.

Damit erhalte ich: $\begin{eqnarray*} \frac{ax+bx+ab}{\sqrt{(a+x)(b+x)}+x } \end{eqnarray*}$

Nun wende ich den Satz von de l'Hospital an: $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{\frac{2x+a+b}{2\sqrt{(a+x)(b+x)} }+1 } \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun versuche über $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{2x+a+b}{2\sqrt{(a+x)(b+x)}} \end{eqnarray*}$ eine Aussage zu treffen wende ich wieder den Satz von de l'Hospital an erhalte dadurch jedoch nur den Kerhwert. Erneutes anwedenden würde wiederum den Kehrwert liefern, also die ursprüngliche Funktion. (Bedeutet das, dass der Grenzwert nicht existiert?)

23.09.2015, 11:59

Guppi12

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L'Hospital ist hier ungeeignet. Dividiere jetzt mal Zähler und Nenner durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und schau, was rauskommt.

23.09.2015, 12:40

Kaffeevernichter

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Okay, also ich diviediere $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{2x+a+b}{2\sqrt{(a+x)(b+x)}} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{2+\frac{a+b}{x}}{2\sqrt{1+ \frac{a}{x} + \frac{b}{x} + \frac{ab}{x^2} }}=1 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{c}{x^{n} } \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ und festem $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

das setzte ich nun wieder in meine ursprüngliche Gleichung ein und komme auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty }\frac{a+b}{\frac{2x+a+b}{2\sqrt{(a+x)(b+x)} }+1 }=\frac{a+b}{1+1} \end{eqnarray*}$

Guppi, ich danke dir sehr herzlich für deine fabelhafte Unterstützung!

23.09.2015, 12:46

Guppi12

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Freut mich, wenn ich helfen konnte smile

Man hätte das mit dem durch x dividieren auch hier schon machen können:

$\begin{eqnarray*} \frac{ax+bx+ab}{\sqrt{(a+x)(b+x)}+x } \end{eqnarray*}$ .

So war der Tipp eigentlich gemeint, aber so wie du es gemacht hast, hat es ja auch funktioniert Augenzwinkern

23.09.2015, 13:00

Kaffeevernichter

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Aja verstehe, dann hätte ich mir einmal die Anwendung des Satzes von de l'Hospital gespart.

Ichhötte noch zwei offtopic fragen:
1, Sollen in diesem Forum Threas gelöscht werden in denen das Problem gelöst wurde?
2, Ich hätte noch ein paar andere Fragen (ich bereite mich gerade auf eine Analysisprüfung vor), jede in einem eigenen Thread oder soll ich so eine Art Sammelthread machen?

23.09.2015, 13:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kaffeevernichter
1, Sollen in diesem Forum Threas gelöscht werden in denen das Problem gelöst wurde?

Nein. (Das können eh nur die Mods.)

Zitat:

Original von Kaffeevernichter
2, Ich hätte noch ein paar andere Fragen (ich bereite mich gerade auf eine Analysisprüfung vor), jede in einem eigenen Thread oder soll ich so eine Art Sammelthread machen?

Besser sind einzelne Threads, vor allem, wenn es sich um inhaltlich andere Fragestellungen handelt.
Thematisch eng verwandte Aufgaben (z. B. Integrationsaufgaben) könenn aber auch in einem Thread gestellt werden.
Bitte ggf. diese im Hochschulbereich erstellen. smile

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