Umschreiben einer Summe

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Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »
Umschreiben einer Summe
Hallo,
ich habe folgende Aufgabenstellung gegeben:
Beweisen Sie:

für alle

Hinweis: FormenSie zu diesem Zweck die Identität in eine etwas handlichere Getsalt um.

Leider kann ich mit dem Hinweis nicht viel Anfangen. Ich kann vom Nenner in den Zähler bringen, sonst sehe ich aber nichts was ich tun könnte.

Ich bitte um einen ganz kleinen Tipp (was ja im Sinne dieses Forums ist) um den Stein ins Rollen zu bringen.
Danke!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kaffeevernichter
Hinweis: FormenSie zu diesem Zweck die Identität in eine etwas handlichere Gestalt um.

Gemeint ist vermutlich



was sich nach Multiplikation deiner Formel mit ergibt. Damit ist außer dem oberen Summenindex kein mehr auf der linken Seite zu finden, was etwa einen Beweis per vollständiger Induktion ungemein erleichtern dürfte. Augenzwinkern
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
also ich präsentiere mal meinen Lösungsansatz:
Ich forme im ertsen Schritt um:



Mache den Induktionsanfang mit n=1



Für wird diee Relation also erfüllt.
Nun mache ich den Induktionsschluss:





Beim nächsten Schritt bin ich mir nicht ganz sicher: Ich ersetzte die eckige Klammer durch . Dabei verwende ich ja die Relation die ich zweigen möchte. (Beißt sich die Katze da nicht selbst in den Schwanz?)



Was wir ja zeigen wollten. Tanzen
Zusammenfassung des Lösungsansatzes: Ich habe alle Therme mit auf die rechte Seite der gleichung gebracht um mir das Arbeiten mit der Summe zu erleichtern. Dann habe ich die Relation mit hilfe vollständiger Induktion bewiesen.
Meine verbleibende Frage: darf ich die Relatiion die ich zeigen will in einem sauberen Beweis verwenden?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kaffeevernichter
Dabei verwende ich ja die Relation die ich zweigen möchte. (Beißt sich die Katze da nicht selbst in den Schwanz?)

[...]

Meine verbleibende Frage: darf ich die Relatiion die ich zeigen will in einem sauberen Beweis verwenden?

Sieht so aus, als hast du etwas Nachholbedarf beim Verständnis des Prinzip der Vollständigen Induktion. verwirrt

An dieser Stelle hier nur: Ja, du darfst die Induktionsvoraussetzung (für n) verwenden, um die Induktionsbehauptung (für n+1) zu beweisen.
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Sieht so aus, als hast du etwas Nachholbedarf beim Verständnis des Prinzip der Vollständigen Induktion. verwirrt

Mein Verständins von Vollständiger Induktion:
Ich versuche eine Aussage auf ihren Wahrheitsgehalt für alle Natürlichen Zahlen zu prüfen.
Ich fange an mit dem Induktionsanfang, ich Zeige, dass die Aussage für kleines , z.B.: richtig ist.
Nun mache ich den Induktionsschluss. Ich ziehe die Aussage für heran und füge das Glied hinzu. Nun zeige ich, dass ich auf diese weise die selbe Form erhalte wie ich sie bekomme wenn ich in meiner urspünglichen Aussage durch ersetzte. Gelingt mir das so ist die Aussage für alle gültig.

Stimmt das so HAL 9000 smile ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich beschreibe es mal so:

Du hast eine Aussage A(n), die du für alle n aus N oder zumindest für einen Teil davon zeigen sollst. Dabei kann die Aussage A(n) eine Gleichung, eine Ungleichung oder sonst irgendwas sein.

Jetzt gibt es 2 Dinge zu tun:
1. Induktionsanfang
2. Induktionsschluß

zu 1: Da wird für n der erste Wert eingesetzt, für den die Aussage gelten soll. In der Regel ist das n=1. Das Einsetzen des Anfangswertes sollte zu einer wahren Aussage führen.

zu 2: beim Induktionsschluß wird angenommen, daß die Aussage A(n) für ein n aus N wahr ist. Die Aussage A(n) ist nun also die Induktionsvoraussetzung. Zu zeigen ist jetzt, daß dann auch die Aussage A für die nächste Zahl (das wäre also n+1) wahr ist. Das heißt, es muß gezeigt werden, daß dann auch A(n+1) gilt. In Formel:
A(n) ==> A(n+1)

Wenn beides erledigt ist, ist die Aussage A(n) für alle n wahr, die größer-gleich dem Wert aus dem Induktionsanfang sind.

Wenn nun A(n) eine Gleichung ist, bei der ein Teil eine Summe ist, dann mußt du schauen, um welche Summanden sich die Summe in A(n+1) von der Summe in A(n) unterscheidet, damit du zum Beweis von A(n+1) die Gleichung A(n) verwenden kannst.
 
 
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo klarsoweit,

ich sehe ehrlich gesagt keinen großen Unterschied zwischen unseren definitionen der Vollständigen Induktion. Du hast das ganze etwas sauberer und schöner ausformuliert, aber von der Kernaussage erkenne ich keine differenzen.

Gibt es einen Expliziten Fehler in meiner Version oder ist es eben die etwas ungeschickte Formulierung die du und Hal9000 zu bemägeln habt?

Ich hoffe ich nerve nicht, mir wöre es nur wichtig das zu verstehen, ist ja immerhin grundlegend für das weiter Verständnis.

Danke!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt in meinen Augen bei deinen Formulierungen eine Schwäche, nämlich diesen hier:
Zitat:
Original von Kaffeevernichter
Nun mache ich den Induktionsschluss. Ich ziehe die Aussage für heran und füge das Glied hinzu.

Das mit dem " Glied" hast du ja bestenfalls nur bei Summen (oder auch Produkten). Und selbst da muß man noch aufpassen, ob dieses " Glied" aus nur einem zusätzlichen Summanden oder ggf. auch aus mehreren zusätzlichen Summanden besteht. Insofern ist deine Schreibweise für mich einen Tick zu speziell. Wie würdest du denn bei dieser Aufgabe vorgehen:

Beweise für n >= 4, daß gilt.
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, ja ich verstehe was du meinst.
Das ist wirklich etwas unglücklich formuliert von mir. Mathematische Konzepte in Worte zu fassen finde ich sehr schwierig.

Bei dem Beispiel von dir würde ich den Induktionsanfang für machen (der ja offensichtlich erfüllt ist ) und dann versuchen zu zeigen das gilt:







Diese Ungleichung ist für schon erfüllt (Gleichheitszeichen). Für ist sie offensichtlich auch erfüllt da langsamer wächst als .

Wäre das richte Anwendung von vollständiger Induktion?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das ist nun im Prinzip richtig und du siehst, ein Glied, das hinzugefügt wird, taucht hier nirgendwo auf. Darauf wollte klarsoweit ja hinaus.

Ich schreibe im Prinzip richtig, weil niemand diese Aufgabe auf diese Weise lösen sollte. Es gibt zwei Dinge, die mir überhaupt nicht gefallen daran:

Erstens: Dass langsamer wächst, als heißt ja nicht, dass er dass auch für kleine bereits tut. Mit dieser Sprechweise drückt man eigentlich aus, dass es irgendein großes gibt, für dass das so ist. Beispielsweise in 'der Logarithmus wächst langsamer als jede Potenzfunktion ' gilt dies eben nicht für alle .
In diesem Fall haben wir zwar tatsächlich für alle , das heißt aber nicht, dass für alle . Für beispielsweise ist das falsch, was deine obige Ungleichung für ebenfalls falsch macht! Das ist ja nicht weiter schlimm, wir brauchen die Ungleichung ja nur für , aber wer sagt uns denn, dass wir für dann auf der sicheren Seite sind?

Zweitens: Du führst hier die Aussage, die zu zeigen ist, nämlich, dass die Exponentialfunktion zur Basis schneller wächst als , auf die Aussage zurück, dass der Logarithmus langsamer wächst, als . Das sind im Prinzip die selben Aussagen. Ich würde sagen, dass man die eine nicht voraussetzen darf, wenn man die andere nicht bewiesen hat. Noch mehr: Zu dem Zeitpunkt, zu dem man solche Aufgaben bearbeitet, hat man im Studium für gewöhnlich noch nicht einmal die natürliche Exponentialfunktion und damit den natürlichen Logarithmus zur Verfügung. Wenn man es hätte, könnte man die Aufgabe natürlich so lösen, dann aber bräuchte man dafür keine vollständige Induktion. Denn wenn man irgendwoher wüsste, dass

für alle richtig ist, dann könnte man dies ja äquivalent umstellen zu der Aussage für . Mehr braucht man ja nicht.

Du siehst also: Ich möchte darauf hinaus, dass man diese Aufgabe wesentlich elementarer lösen kann. Versuche es doch noch einmal Augenzwinkern

Edit: Quadrate ergänzt, wo sie fehlten.


Die sich anschließende nächste Induktionsaufgabe habe ich in Vollständige Induktion: n² <= 2^n abgespalten.
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich hätte wieder eine Summe die es gilt umzuschreiben:
Brechnen Sie den Wert der Summe:
Hinweis:Führen SIe den Ausdruck auf eine Summe der Form zurück (für geeignetes von abhängiges )

Mein verdacht ist es, dass es die Summe in die Form des Binomischen Lehrsatzes zu bringen.


Ich sehe aber nicht was denn mein sein könnte Hammer .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege dir zunächst, warum für und gilt:



Gehe beim Nachweis über die Definition der Binomialkoeffizienten.
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich mir gestern schon ausgerechnet, sehe aber nich nicht wie ich das in diesem Beispiel einsetzen soll.

A. Praeter Auf diesen Beitrag antworten »

Aber damit folgt doch



Jetzt fehlt nur noch ne Indexverschiebung und dann steht's da.
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Also...



Indexshift: und



Richtig smile ?
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Uh, das kann nicht stimmen. Habe ich mit dem Index geirrt geschockt ...
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Es müsste lauten:



Indexshift: und



Fehler gefunden und korregiert - ich hoffe, dass es jetzt passt! Hammer
A. Praeter Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, das passt so nicht!

Vorher war doch alles in bester Ordnung.

Was hat Dich denn da geritten... verwirrt
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm... könntest Du mir bitte sagen bis wohin nich alles passt?
A. Praeter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kaffeevernichter
Hmmm... könntest Du mir bitte sagen bis wohin nich alles passt?


Ich nehme an, dass Du wissen möchtest was nicht passt.

Ab dem 'Indexshift' stimmt's nicht mehr.

Vorab würde ich aber schon auf das vollkommen überflüssige Abspalten des letzten Summanden der Summe verzichten.

Und dann solltest Du Dir klar machen, dass folgende Gleichheit gilt:



(wie lautet in den beiden Summen jeweils der erste und der letzte Summand?)
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Auf ein neuesUps :

Bis hier passt es ja mal sicher.

Nun weiter:

Ich hoffe das mein Ergebnis nun stimmt smile ?

Den Indexshift habe ich jetzt nicht mit einer substitution gelöst (anscheinend verwirrt mich das mehr als es mir hilft) sondern ich habe Deinen Tipp berücksichtigt und auf das erste und das letzte Glied der Reihe geachtet und darauf das die gleich bleiben.
A. Praeter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kaffeevernichter
... (anscheinend verwirrt mich das mehr als es mir hilft)


In der Tat.

Das Ergebnis stimmt jetzt jedenfalls.
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe A. Praeter. Blumen
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