Taylorreihenentwicklung und Konvergenzradius

23.09.2015, 18:40

studentvonmathe

Taylorreihenentwicklung und Konvergenzradius

Hallo zusammen,

was hat die Taylorreihenentwicklung genau mit der Konvergenz der zugehörigen Reihe über der Folge zu tun?

Ausführlich:
Nehmen wir $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ und machen dazu die Taylorentwicklung (Entwicklungspunkt = 0).
Das ist kein Problem, mir ist klar, dass dies gilt: $\begin{eqnarray*} e^{x} = \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \left( \frac{1}{n!} \cdot x^n\right) \end{eqnarray*}$
(schöner Formeleditor übrigens)

Die allgemeine Regel für das Polynom ist ja $\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \left( a_n \cdot x^n\right) \end{eqnarray*}$

Die Folge, die wir hier herausgefunden haben lautet $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nun:
Warum wird nun die Reihe (nennen wir sie $\begin{eqnarray*} s_r \end{eqnarray*}$ ) über die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz untersucht?

(z.B. mit dem Quotientenkriterium erhalten wir, dass sie konvergent ist)
Was bedeutet das nun, dass diese Reihe über die Folge, die wiederum die Koeffizienten des Polynoms sind, konvergent ist im Zusammenhang?
Das verstehe ich leider gar nicht.

Viele Grüße,

24.09.2015, 07:57

bijektion

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Zitat:

Die allgemeine Regel für das Polynom ist ja $\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{n=0}^{ \infty} \left( a_n \cdot x^n\right) \end{eqnarray*}$

Für ein Polynom gilt sogar $\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{n=0}^{N} a_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$ mit einer Zahl $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Warum wird nun die Reihe (nennen wir sie $\begin{eqnarray*} s_r \end{eqnarray*}$ ) über die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz untersucht?

Da man eine Potenzreihe erhält, muss man deren Konvergenzradius untersuchen- etwa mit der Formel von Cauchy-Hadamard oder eben mit dem Quotientenkriterium.

Zitat:

Was bedeutet das nun, dass diese Reihe über die Folge, die wiederum die Koeffizienten des Polynoms sind, konvergent ist im Zusammenhang?

Das verstehe ich nicht. Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ ? Die konvergiert, wenn die Potenzreihe für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

24.09.2015, 18:58

studentvonmathe

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Zitat:

Original von bijektion
Da man eine Potenzreihe erhält, muss man deren Konvergenzradius untersuchen

Warum? Das verstehe ich ja gerade nicht. (den Begriff Konvergenzradius erst recht nicht)

Man erhält also eine Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum a_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$ bei der Taylorentwicklung, warum untersucht man die Summe $\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ nun auf Konvergenz?

Zitat:

Original von bijektion

Zitat:

Was bedeutet das nun, dass diese Reihe über die Folge, die wiederum die Koeffizienten des Polynoms sind, konvergent ist im Zusammenhang?

Das verstehe ich nicht. Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ ?

ja, genau diese Reihe. Die wird ja auf Konvergenz geprüft. Die zentrale Frage ist: wozu macht man das?

Zitat:

Original von bijektion
Die konvergiert, wenn die Potenzreihe für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Aha, hängt die Konvergenz von x ab?
(aber das ist glaube ich nochmal eine andere Frage...)

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