Allgemeines Vorgehen: Differenzierbarkeit von Funktionen zwischen Mannigfaltigkeiten

24.09.2015, 20:02

Anyone1001

Allgemeines Vorgehen: Differenzierbarkeit von Funktionen zwischen Mannigfaltigkeiten

Guten Abend allerseits, ich habe mal eine ganz grundlegende Frage:

wenn ich zwei diff.bare Mannigfaltigkeiten gegeben habe und eine Funktion zwischen diesen beiden (in meinem Fall war das die Antipodenabbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb S^n \end{eqnarray*}$ ), wie kann ich da die Differenzierbarkeit der Funktion zeigen? Ich kenne zwar die Definition und die Abbildungsvorschrift,

$\begin{eqnarray*} \psi \circ f \circ \phi^-1 \end{eqnarray*}$ muss unendlich oft diff.bar sein und die Antipodenabb. war gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb S^n \rightarrow \mathbb S^n, x \mapsto -x \end{eqnarray*}$

aber irgendwie komme ich alleine mit der Aussage, dass eine Karte immer eine Homöomorphismus sein muss (also nicht unbedingt diff.bar) und der Aussage, dass die Abbildung eines Punktes x auf -x unendlich oft diff.bar in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist immer noch nicht auf die Diff.barkeit von von meiner Funktion, weil ich einfach keine Ahnung hab wie ich argumentieren kann. Kann es nicht sein, dass eine der beiden Karten nicht diff.bar ist und somit die die Abbildung insgesamt nicht diff.bar ist?

Leider blicke ich da noch gar nicht durch. Das ganze zu verstehen wäre wahrscheinlich zum Verständnis des Satzes der impliziten Funktion auf Mannigfaltigkeiten auch nicht schlecht,

Mfg

24.09.2015, 22:08

10001000Nick1

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Das hängt von den Karten bzw. dem Atlas auf der Mannigfaltigkeit ab. (Bei der Sphäre z.B. die stereografischen Projektionen vom Nord- bzw. Südpol.)

Du musst also erstmal wissen, welche Karten du benutzt, und dir dann nochmal die Definition von differenzierbaren Abbildungen auf Mannigfaltigkeiten anschauen und diese anwenden.

Zitat:

Original von Anyone1001
$\begin{eqnarray*} \psi \circ f \circ \phi^-1 \end{eqnarray*}$ muss unendlich oft diff.bar sein

Das kommt zwar in der Definition vor, ist aber noch nicht alles. Was genau sind $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ , und soll das für alle Karten gelten oder nur für bestimmte...?

Zitat:

Original von Anyone1001
Kann es nicht sein, dass eine der beiden Karten nicht diff.bar ist und somit die die Abbildung insgesamt nicht diff.bar ist?

Du kannst erstmal gar nicht sagen, ob die Karten differenzierbar sind, denn du willst ja Differenzierbarkeit von Abbildungen auf Manigfaltigkeiten erst definieren. Allerdings besitzen differenzierbare Mannigfaltigkeiten einen $\begin{eqnarray*} \mathcal C^\infty \end{eqnarray*}$ -Atlas, d.h. wenn $\begin{eqnarray*} \phi_i: U_i\to V_i\quad (i=1,2) \end{eqnarray*}$ zwei Karten in dem Atlas sind, dann ist der Koordinatenwechsel $\begin{eqnarray*} \phi_2\circ\phi_1^{-1}: \phi_1(U_1\cap U_2)\to\phi_2(U_1\cap U_2) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathcal C^\infty \end{eqnarray*}$ -Diffeomorphismus (diese Abbildung bildet zwischen zwei offenen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ab, deswegen kannst du hier schon über Differenzierbarkeit sprechen).

25.09.2015, 04:40

Anyone1001

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Naja $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ sollen erst mal nur Karten sein. Allerdings sind sowohl im Bildbereich als auch im Urbildbereich diff.bare Mannigfaltigkeiten gegeben, die ja als Mengen mit Atlas definiert sind. Wenn jetzt die stereographischen Projektionen die einzigen Karten wären, mit denen sich ein Atlas von $\begin{eqnarray*} \mathbb S^n \end{eqnarray*}$ erzeugen lässt (was ich nicht bewiesen habe und auch nicht glaube), dann könnte ich ja tatsächlich annehmen, dass ich mir einfach mal zwei Stereographische Projektionen her nehme und könnte damit argumentieren.
Leider ist mir in meiner Aufgabe konkret nicht mehr gegeben.

Mfg

25.09.2015, 07:51

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Anyone1001
Wenn jetzt die stereographischen Projektionen die einzigen Karten wären, mit denen sich ein Atlas von $\begin{eqnarray*} \mathbb S^n \end{eqnarray*}$ erzeugen lässt (was ich nicht bewiesen habe und auch nicht glaube)

Zumindest für $\begin{eqnarray*} \mathbb S^7 \end{eqnarray*}$ stimmt das nicht. Da gibt es 28 "verschiedene" Strukturen, d.h. die zugehörigen Atlanten sind nicht $\begin{eqnarray*} \mathcal C^\infty \end{eqnarray*}$ -verträglich. Wie das bei anderen Sphären aussieht, weiß ich nicht.

Wenn nichts anderes gegeben ist, würde ich sagen, dass wir es einfach mit der stereografischen Projaktion machen. smile

25.09.2015, 08:02

Anyone1001

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Hm okay ich hab das jetzt mal auf die Verträglichkeit von der stereographischen Projektion von Nordpol mit der von Südpol zurückgeführt. Zusammen mit der Tatsache, dass die Antipodenabbildung eine Involution ist kommt man dann drauf.
Danke für die Hilfe, ich denke mal ich habe das Problem am Anfang einfach nicht verstanden.

Mfg

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