Einfache DGL - 2

25.09.2015, 10:35

AstroNerd

Einfache DGL - 2

Hallo Forenuser,
Hier eine neue Differentialgleichung, an der ich mich probiere:

$\begin{eqnarray*} y'(x) = e^y + e^{-y} \end{eqnarray*}$

Laut Skript sollte man Substitution verwenden. Ich habe eine DGL dieser Form noch nie gelöst. Wie geht man bei solchen DGLen vor ?
Mit freundlichem Gruß
AstroNerd

25.09.2015, 10:46

grosserloewe

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RE: Einfache DGL - 2
Wink

Alternativ kannst Du das auch über Trennung der Variablen lösen.

smile

25.09.2015, 10:54

HAL 9000

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Ich denke mal, dass mit der Substitution bezieht sich dann schon auf das Integral $\begin{align*} \int \frac{\dd y}{e^y+e^{-y}} \end{align*}$ , d.h. verbunden (statt alternativ) mit der "Trennung der Variablen". Augenzwinkern

25.09.2015, 10:56

AstroNerd

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RE: Einfache DGL - 2
Bisher habe ich nur gelernt, wie man DGLen der Formen

$\begin{eqnarray*} y'(x) = g(x) \cdot h(y(x)) y'(x) = f(a\cdot x + b\cdot y(x) + c) y'(x) = f(\frac{y(x)}{x}) \end{eqnarray*}$

löst. Ich habe zwar ein großes, dickes Buch (Mathematische Methoden in der Physik, von Lang und Pucker) wo das mit Sicherheit alles irgendwo drin steht, aber das wäre mir am frühen Morgen etwas zu aufwändig.
Könnte mich jemand schrittweise zur Lösung führen ?
Mit freundlichem Gruß
AstroNerd

25.09.2015, 10:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von AstroNerd
$\begin{eqnarray*} y'(x) = g(x) \cdot h(y(x)) \end{eqnarray*}$

Naja, der Typ liegt doch hier vor, und zwar mit $\begin{align*} g(x)=1 \end{align*}$ und $\begin{align*} h(y)=e^y+e^{-y} \end{align*}$ . Das ist ja nun wirklich nicht schwer zuzuordnen.

25.09.2015, 11:01

AstroNerd

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RE: Einfache DGL - 2
Mein Ansatz wäre jetzt gewesen:

$\begin{eqnarray*} y'(x) = e^{y(x)} + e^{-y(x)} \frac{dy}{dx} = e^{y(x)} + e^{-y(x)} dy = (e^{y(x)} + e^{-y(x)}) \cdot dx \int 1 dy = \int (e^{y(x)} + e^{-y(x)}) \cdot dx y(x) = \int (e^{y(x)} + e^{-y(x)}) \cdot dx \end{eqnarray*}$

Bin ich schonmal auf dem richtigen Weg ?
Mit freundlichem Gruß
AstroNerd

25.09.2015, 11:08

AstroNerd

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RE: Einfache DGL - 2
Da fällt mir noch was ein, man könnte ja theoretisch

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot (e^{y(x)} + e^{-y(x)}) | \cdot dx : (e^{y(x)} + e^{-y(x)}) \frac{dy}{e^{y(x)} + e^{-y(x)}} = 1 \cdot dx \int \frac{1}{e^{y(x)} + e^{-y(x)}} dy = \int 1 \cdot dx = x \end{eqnarray*}$

Ist der Ansatz besser ?
Danke an HAL9000 für den Tipp.

25.09.2015, 11:28

AstroNerd

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RE: Einfache DGL - 2
Ich weiß ja nicht, ob man dieses Integral im Kopf ausrechnen soll ...
Ich habe es eben kurz mit wxMaxima gemacht.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{e^{y(x)} + e^{-y(x)}} dy = \frac{-arctan{(\frac{1}{e^{y(x)}})}}{log(e)} \end{eqnarray*}$

Ich vermute mal, dass log(e) in dem Fall ln(e) sein soll.
Wenn wir weiter rechnen erhalten wir für die DGL

$\begin{eqnarray*} -arctan(\frac{1}{e^{y(x)}}) = x | \cdot (-1) tan \frac{1}{e^{y(x)}} = tan(-x) | Kehrwert e^{y(x)} = \frac{1}{tan(-x)} y(x) = ln(\frac{1}{tan(-x)}) \end{eqnarray*}$

Da kann irgendwo was nicht stimmen, da die Lösung laut Skript ln(tan(x)) sein sollte ...
Wo liegt der Fehler ?
Mit freundlichem Gruß
AstroNerd

25.09.2015, 11:46

HAL 9000

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Ziemlich wirr, was du das zusammenrechnest - ich vermisse vor allem die Integrationskonstante...

Von vorn: Trennung der Variablen ergibt $\begin{align*} \frac{y'}{e^y+e^{-y}} = 1 \end{align*}$ , dies integriert

$\begin{align*} \int \frac{\dd y}{e^y+e^{-y}} = \int 1 ~ \dd x \end{align*}$

Links hilft Substitution $\begin{align*} u=e^y \end{align*}$ zu $\begin{align*} \int \frac{\dd y}{e^y+e^{-y}} = \int \frac{\dd u}{1+u^2} = \arctan(u) \end{align*}$ , was demnach für die DGL

$\begin{align*} \arctan(e^y) = x+C \end{align*}$

bedeutet, umgestellt zu $\begin{align*} y = \ln(\tan(x+C)) \end{align*}$ .

25.09.2015, 11:50

grosserloewe

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RE: Einfache DGL - 2
Wink

Also Du bekommst:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{e^y +e^{-y} } \, dy = \int 1 \, dx \end{eqnarray*}$

rechts bekommst Du x+C

Das linke Integral löst Du, indem Du den Intgrand mt e^y multiplizierst
und dann mit

$\begin{eqnarray*} z=e^{y} \end{eqnarray*}$

substituierst.

Schließlich bekommst Du

$\begin{eqnarray*} arctan (e^{y}) =x+C \end{eqnarray*}$

Das löst Du noch nach y auf.

25.09.2015, 11:54

HAL 9000

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Über $\begin{align*} \arctan(t)+\arctan\left(\frac{1}{t}\right)=\frac{\pi}{2} \end{align*}$ für $\begin{align*} t>0 \end{align*}$ ist klar, dass

$\begin{align*} -\arctan\left( e^{-y} \right) = \arctan\left( e^y \right)-\frac{\pi}{2} \end{align*}$

gilt und insofern sich die beiden $\begin{align*} y \end{align*}$ -Integrationen von AstroNerd und grosserloewe/mir nicht widersprechen, denn das $\begin{align*} \frac{\pi}{2} \end{align*}$ kann man in der (bei AstroNerd fehlenden) Integrationskonstanten $\begin{align*} C \end{align*}$ unterbringen.

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