Holomorphe Funktion

25.09.2015, 10:54

Mathefuchs777

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Holomorphe Funktion

Guten Morgen
Ich bräuchte dringend einen Lösungweg zu folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} f: E\to C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z} \forall z\in E \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} | z |=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ (Wobei E die Einheitskreisscheibe ist)
Zeigen Sie, dass es eine solche holomorphe Funktion nicht geben kann.

Mein Vorschlag:
Ich setzte z=x+iy
Aus $\begin{eqnarray*} | z |=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x^{2}+ y^{2} = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
Nun verwende ich dies in der Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z} =\frac{1}{x+iy}= \frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}= \frac{x-iy}{\frac{1}{4}} = 4(x-iy) \end{eqnarray*}$

Wie muss ich jetz weiter machen? Vllt mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen?

25.09.2015, 11:09

HAL 9000

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Der Cauchysche Integralsatz ist dir geläufig? Dann bestimme doch einfach mal $\begin{align*} \oint\limits_{|z|=\frac{1}{2}} f(z) ~ \dd z = \oint\limits_{|z|=\frac{1}{2}} \frac{1}{z} ~ \dd z \end{align*}$ .

25.09.2015, 11:35

Mathefuchs777

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Hab gerade den Satz gesucht, hab mit ihm aber noch nie gearbeitet..

Sei g einfaches zusammenhängendes Gebiet und f: G -> C
Dann gilt für jeden geschlossenen Integrationsweg $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ in G:

$\begin{eqnarray*} \int_{\alpha }^{ } \! f(z) \, dz = 0 \end{eqnarray*}$

Aber wieso darf ich für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nun den Betrag setzen?

Und wie kann ich das nun berechnen, wenn beim Integral nicht a und b steht, sondern nur a (hier: 1/2)

25.09.2015, 11:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathefuchs777
Aber wieso darf ich für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nun den Betrag setzen?

Nicht "den Betrag setzen", sondern als Integrationsweg den Kreis mit Radius 1/2 wählen!!!

25.09.2015, 11:48

Mathefuchs777

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Also ich hab verstanden, dass die Funktion nur holomorph ist, wenn der Cauchysche Integralsatz erfüllt ist. (Da diese 2 Aussagen äquivalent sind)

Aber wie kommt man jetz auf den Kreis mit Radius 1/2 ? und wie kann man dann weiter machen? ich find in meinem Buch leider kein passendes Beispiel, wie ich hier vorgehen soll.. (bzw hab ich keine Ahnung welches Beispiel dafür passend ist, da ich nicht kapiere was man genau machen muss)

25.09.2015, 11:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathefuchs777
Aber wie kommt man jetz auf den Kreis mit Radius 1/2 ?

Vielleicht, weil auf diesem Kreis nun gerade die Funktionswerte von $\begin{align*} f \end{align*}$ bekannt sind? Womit sonst soll man hier arbeiten, wenn nicht damit?

Zitat:

Original von HAL 9000
und wie kann man dann weiter machen?

Im Klartext: Du weißt nicht, wie das genannte Kurvenintegral berechnet werden kann - dann sag das doch einfach statt dieses allgemein verwaschenen "weiß nicht, wie weitermachen". unglücklich

unglücklich

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25.09.2015, 12:03

Mathefuchs777

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Okee.. dann nimmt man also 1/2 als Integrationsweg

Ich weiß leider ganz und gar nicht was jetzt hier zu machen ist...
Könntest du vllt den Rechenweg aufschreiben, damit ich ihn durchgegehen könnte und dann vielleicht verstehn könnte? Weil alleine komm ich da heute einfach nicht weiter (dafür fehlt mir einfach das verständnis für diesem neuen Thema) traurig

traurig

25.09.2015, 12:04

Mathefuchs777

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Ja ich weiß nicht, wie man dieses Kurvenintegral berechnen kann!
Und danke für deine Geduld!! Freude

Freude

25.09.2015, 13:14

HAL 9000

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Für eine glatte (d.h. differenzierbare) Kurve $\begin{align*} \alpha:\;[a,b]\to \mathbb{C} \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \int\limits_{\alpha} f(z) ~ \dd z = \int\limits_a^b f(\alpha(t))\cdot \alpha'(t) ~ \dd t \end{align*}$ .

Das gilt im besonderen auch auf eine geschlossene Kurve wie den Kreis hier, der lässt sich als Kurve parametrisieren z.B. durch $\begin{align*} \alpha(t) = \frac{1}{2} e^{it} \end{align*}$ für $\begin{align*} 0\leq t\leq 2\pi \end{align*}$ .

Jetzt solltest du eigentlich losrechnen können. Ziel der Aktion ist natürlich der Nachweis $\begin{align*} \oint\limits_{\alpha} f(z) ~ \dd z \neq 0 \end{align*}$ , was ja laut Cauchyschem Integralsatz für eine holomorphe Funktion in diesem (sternförmigen, ja sogar konvexen) Gebiet $\begin{align*} E \end{align*}$ nicht sein kann - Widerspruch.

25.09.2015, 14:12

Mathefuchs777

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Danke schonmal für deine Hilfe! Ich versuch es:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\alpha} f(z) ~ \dd z = \int\limits_a^b f(\alpha(t))\cdot \alpha'(t) ~ \dd t =\int_{a}^{b} \! f(\frac{1}{2}e^{it})\cdot \frac{1}{2}e^{it}i\, dt = \int_{a}^{b} \! \frac{1}{\frac{1}{2} e^{it} } \cdot \frac{1}{2}e^{it}i \, dt = \int_{a}^{b} \! i \, dt = \left[it\right]_{a}^{b} =ib-ia \end{eqnarray*}$

Passt das dann so?

25.09.2015, 15:23

HAL 9000

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Ähem, wir haben hier konkrete $\begin{align*} a,b \end{align*}$ vorliegen...

25.09.2015, 16:24

Mathefuchs777

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t liegt ja zwischen 0 und 2pi

Wenn wir das nun einsetzen kommt als Lösung $\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$ raus.

Das ist immer ungleich 0 und somit ist der Cauchysche Integralsatz nicht erfüllt und die Funktion f ist somit nicht holomorph!

Stimmt das so? smile

smile

Jetz muss ich aber noch fragen, wie du auf das konkrete a (hier: 0) und b (hier: 2pi) gekommen bist? hängt das mit dem Betrag 1/2 zusammen oder?

25.09.2015, 19:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathefuchs777
Jetz muss ich aber noch fragen, wie du auf das konkrete a (hier: 0) und b (hier: 2pi) gekommen bist?

Mann, Mann, Mann - das ist jetzt nicht dein Ernst, oder? Wir brauchen doch eine geschlossene Kurve, um den Cauchyschen Integralsatz anzuwenden! Also Winkelbereich der Größe $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ .

25.09.2015, 20:17

Mathefuchs777

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okee.. jetz leuchtet es mir auch ein! eine Umdreung=2pi Hammer

Hammer

Aber der Rest passt oder? Also ist die Aufgabe jetzt fertig und richtig gelöst?

25.09.2015, 22:16

HAL 9000

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Ja, es ist ein Wert ungleich Null, und damit kann die Funktion nicht holomorph sein.

25.09.2015, 22:39

Mathefuchs777

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Danke Danke Danke!! smile

smile

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