Konvergenz der Summe über Glieder einer Nullfolge

25.09.2015, 12:20

Kaffeevernichter

Konvergenz der Summe über Glieder einer Nullfolge

Hallo,
ich soll folgende These als wahr oder falsch identifizieren (mit Begründung natürlich):

Sei $\begin{eqnarray*} \left\{ a_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge. Dann ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a^{k} _{n} \end{eqnarray*}$ konvergent für hinreichend großes $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß, dass die Summe über eine Nullfolge nicht zwangsweise konvergiert (z.B.: Harmonische Reihe). Aber die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert schon...
Außerdem weiß ich, dass es eine notwendige Bedingung für konvergenz ist, dass die Folge $\begin{eqnarray*} \left\{ a_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

Was mir nicht klar wie sich der Exponent $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ allgemein auf eine Nullfolge auswirkt.

25.09.2015, 12:35

Math1986

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RE: Konvergenz der Summe über Glieder einer Nullfolge
Welche hinreichenden Kriterien kennst du denn für die Konvergenz einer Summe?

25.09.2015, 13:06

HAL 9000

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Die These ist falsch, man betrachte mal nur Gegenbeispiel $\begin{align*} a_n=\frac{1}{\ln(n+1)} \end{align*}$ . Grund für die Tauglichkeit des Gegenbeispiels ist, dass der Logarithmus langsamer wächst als jede Potenzfunktion $\begin{align*} n\mapsto n^{\alpha} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \alpha>0 \end{align*}$ , und daher (ab einem gewissen, von k abhängigem Index) die harmonische Reihe eine Minorante der Reihe $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\ln(n+1))^k} \end{align*}$ ist.

25.09.2015, 20:27

Kaffeevernichter

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Hallo,

also an das Majorantenkriterium bzw Minorantenkriterium musste ich bei diesem Beispiel auch denken. Mir ist nur keine passende Folge eingefallen.

Ist die harmonische Reihe nicht für jeden Index $\begin{eqnarray*} k>0 \end{eqnarray*}$ eine divergente Minorante?

25.09.2015, 21:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kaffeevernichter
Ist die harmonische Reihe nicht für jeden Index $\begin{eqnarray*} k>0 \end{eqnarray*}$ eine divergente Minorante?

Anscheinend verwechselst du was: Wenn ich von "Index" gesprochen habe, dann meine ich natürlich den Reihenindex $\begin{align*} n \end{align*}$ . unglücklich

Ich wollte mit dem Satz ausdrücken, dass $\begin{align*} \frac{1}{(\ln(n+1))^k} > \frac{1}{n} \end{align*}$ , umgestellt $\begin{align*} \ln(n+1) < n^{\frac{1}{k}} \end{align*}$ , nicht notwendig für alle $\begin{align*} n \end{align*}$ , aber doch zumindest für alle $\begin{align*} n \end{align*}$ ab einem gewissen Index gilt.

$\begin{align*} k \end{align*}$ ist doch hier der Exponent der Potenz! Und ja, das Beispiel passt für alle $\begin{align*} k \end{align*}$ - sonst hätte ich es ja nicht angegeben. Augenzwinkern

26.09.2015, 09:53

Kaffeevernichter

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Zitat:

Original von HAL 9000
Anscheinend verwechselst du was: Wenn ich von "Index" gesprochen habe, dann meine ich natürlich den Reihenindex $\begin{align*} n \end{align*}$ . unglücklich

Da habe ich gestern wohl etwas gehudelt. Genaues lesen beut solchen Fehlern von Hammer

Die Ungleichung niederzuschreiben macht die Sache aber sehr anschaulich!

Danke für die deine tatkräftige Unterstützung HAL9000 Freude

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