Geburtstagsparadoxon mit oder ohne Reihenfolge |
| 25.09.2015, 13:13 | the01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Geburtstagsparadoxon mit oder ohne Reihenfolge Hallo, ich sehe mir das Geburtstagsparadoxon an (wie wahrscheinlich ist es das bei 20 Personen im Raum 2 am gleichen Tag Geburtstag haben) Man löst es bekanntermaßen so: Also über das Gegenereignis: "Wie viele Möglichkeiten gibt es 20 Personen verschiedene Geburtstage zu zuweisen. Wieso kann ich das aber nicht auch so machen: Meine Ideen: Einmal beachte ich die Reihenfolge und weiße den 20 Personen verschiedene Tage zu. Beim anderen mal tue ich das auch aber lasse die Reihenfolge außen vor. Das ganze führt zu verschiedenen Ergebnissen. Ich habe das ganze auch schon gegoogelt und diverse Erklärungen gelesen. Keine habe ich bisher so recht verstanden, es lief meist darauf hinaus das man die Personen ja unterscheiden kann. Aber das hilft mir bei der Vorstellung irgendwie nicht. |
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| 25.09.2015, 13:17 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Erkläre mal, was der Nenner mit dem vorliegenden Problem zu tun haben soll? 
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| 25.09.2015, 13:20 | the01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das bedeutet das ich aus 365 Tagen 20 auswähle, aber mit zurücklegen. (Ohne zurücklegen wäre ja 2 mal der gleiche Tag nicht möglich) |
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| 25.09.2015, 13:22 | the01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry, da muss natürlich stehen. |
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| 25.09.2015, 13:31 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Ur-Fehler aller solchen Betrachtungen: Für die Verwendung der Laplacewahrscheinlichkeit "Anzahl günstige Ausgänge / Anzahl alle Ausgänge" ist zwingende Voraussetzung, dass die Versuchsausgänge alle gleichwahrscheinlich eintreten können. Das ist bei Auswahlmöglichkeiten mit Zurücklegen, aber ohne Berücksichtigung der Reihenfolge NICHT der Fall, wenn wie üblich (so auch hier) die einzelnen Elemente unabhängig voneinander gezogen werden - somit ist diese Quotientenformel nicht anwendbar. 
Z.B. ist da der Versuchsausgang "die 20 Leute haben die Geburtstage 1. bis 20.Januar" -mal so wahrscheinlich wie der Versuchsausgang "die 20 Leute haben alle am 1.Januar Geburtstag". Beim ersten Modell, was die Individualität der Leute berücksichtigt, ist das anders: Da ist der Versuchsausgang "Person 1 hat am 1.Januar Geburtstag, Person 2 am 2.Januar, ... , Person 20 am 20.Januar" tatsächlich genauso wahrscheinlich wie "die 20 Leute haben alle am 1.Januar Geburtstag", jeweils gleich . |
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| 25.09.2015, 14:14 | the01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also dass alle Ereignisse Gleichwahrscheinlich sein müssen dass es Sinn macht ist plausibel. Was ich aber nicht verstehe ist wie du darauf kommst das "die 20 Leute haben die Geburtstage 1. bis 20. Januar" 20! mal so wsl. ist wie "die 20 Leute ahben am 1. Januar Geburtstag". Im Sinne meiner Betrachtung hätte ich gesagt beides hat die Wahrscheinlichkeit Denn wenn ich die Reihenfolge nicht beachte gibt es doch nur genau eine "Kombination" 1.-20. Januar Also {1,...,20} entspricht {2, 1, 3, 4,..20} Und die Kombination (1,...,1) (zwanzig mal) kann beim auswählen mit Zurücklegen auch nur einmal auftreten. |
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| 25.09.2015, 14:53 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein störrischer Fall ... Machen wir es an einem viel, viel einfacheren Beispiel klar: Eine Urne mit einer weißen und einer schwarzen Kugel (also 2 statt 365 in der Grundmenge), du ziehst zweimal je eine Kugel mit Zurücklegen (also 2 statt 20). Nach dem ersten Modell kommt als Wahrscheinlichkeitsverteilung (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) 1/4 für WW 1/2 für WS (da hier auch noch SW dazuzählt) 1/4 für SS heraus - nach deinem Modell (auf dieses einfachere Beispiel appliziert) aber 1/3 für WW 1/3 für WS 1/3 für SS Was meinst du wohl, welche der beiden Betrachtungen richtig sind? P.S.: Schieb das mal einer in die Schulmathematik. |
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| 25.09.2015, 15:13 | the01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das scheint mir richtig zu sein, egal was man als erstes zieht der Fall SW ist immer noch möglich. (Wenn man S zieht ist WW schon ausgeschlossen) Aber es gibt ja doch Fälle wo die Reihenfolge egal ist. Wie kann man den einen vom anderen sicher unterscheiden? |
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| 25.09.2015, 15:17 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zum einen muss man Anzahlberechnungen von Wahrscheinlichkeitsberechnungen unterscheiden - es gibt auch Fragen nach Anzahlen, ohne dass es gleich um eine Wahrscheinlichkeit geht. Und bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen muss man jeweils das hier berücksichtigen:
Das hast du nicht getan, sondern einfach schlicht nur angenommen - was in deinem Fall falsch war. |
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| 26.09.2015, 10:30 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich sehe das Grundübel bei solchen falschen Lösungen im Fehlen des Erstellens eines Modells. Die Leute beginnen zu zählen, vermögen aber nicht einmal die Objekte, die sie zählen, zu beschreiben. Aus anderen Bereichen der Mathematik sind sie gewohnt, fertige Formeln anzuwenden: ansetzen, einsetzen, ausrechnen oder so ähnlich. Ich denke an typische Aufgaben der Analytischen Geometrie, die meist auf Schnittprobleme und damit lineare Gleichunssysteme führen. Oder an Aufgaben der Analysis, bei denen letztlich eine Funktion bezüglich des ein oder anderen Merkmals zu diskutieren ist. Bei endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen funktioniert das aber nicht. Natürlich gibt es ein paar Standardsituationen wie etwa die berüchtigte Bernoulli-Kette mit ihrem Binomialmodell oder etwas allgemeinere Urnenmodelle. Die kann man auch bis zu einem gewissen Grad nach Schema F abarbeiten. Wenn es aber auf die elementare Kombinatorik hinausläuft, wird es auf einmal sehr schwer. (Wie ich mir habe sagen lassen, sollen selbst Mathematikprofessoren, die sonst in ihrem Fachgebiet Koryphäen sind, bei solchen Fragestellungen leicht zu Fehlschlüssen neigen.) Ich selbst hüte mich bei einer wahrscheinlichkeits-kombinatorischen Fragestellung, die ich nicht gleich im Hinterkopf auf ein mir geläufiges Modell zurückführen kann, vor vorschnellen Antworten. Lieber kritzle ich zwei DIN-A4-Seiten mit schwer lesbaren Zeichen voll, um mir selbst klarzumachen, wie ich einen möglichen Ausgang notieren kann, ob ich dabei alle möglichen Ausgänge erfasse und voneinander unterscheide, und nicht zuletzt und vor allem, ob die so notierten Ausgänge nach vernünftigem Ermessen gleichwahrscheinlich sind. Ich bastle mir also meinen Laplace-Raum . Dann erst beginne ich, die günstigen aus den möglichen Fällen auszusondern und beide zu zählen. Dieses Vorgehen empfehle ich auch meinen Schülern. Leider bin ich dabei nicht sehr erfolgreich. Ich muß einsehen, daß die meisten Menschen sich nicht kreativ-mathematisch betätigen, sondern mit irgendwelchen vorgestanzten Schablonen schnell zum Ergebnis kommen wollen. Infolgedessen scheitern die allermeisten bei kombinatorischen Fragestellungen. Die Kultusbürokratie hat übrigens schon längst darauf reagiert. Kombinatorische Aufgaben im Abitur gibt es höchstens auf unterstem Niveau, wie sie mit dem Wissen eines Grundschülers gelöst werden können. Der Rest läuft auf bekannte und immer wieder geübte Modelle wie das Binomialmodell oder höchstens noch das hypergeometrische Modell hinaus. |
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| 26.09.2015, 12:06 | gast2609 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"Ich muß einsehen, daß die meisten Menschen sich nicht kreativ-mathematisch betätigen," Dafür braucht man mMn eine bestimmte Begabung und die haben nicht allzu viele, oder ? Es liegt wohl auch daran, dass man oft viel Zeit und Geduld braucht. Und wer hat das heute noch wirklich ? Wie funktioniert math. Kreativität eigentlich ? Bei vielen Lösungsansätzen der hiesigen Profis frage auch ich mich oft : Wie kommt der bloß da drauf ? Dieses Grundproblem haben vermutlich alle, denen Mathe nicht mit in die Wiege gelegt wurde. 
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| 26.09.2015, 12:26 | 1nstinct | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaube, ein grundlegendes Problem ist der Vergleich von Mathematik in der Schule und eines Mathestudiums. Nicht umsonst war der Name des Faches frühr "Rechnen". Das mathematische Denken kommt mMn in der Schule viel zu kurz, es wird nur stumpf in irgendwelche Formeln eingesetzt. Die Frage nach dem Warum wird überhaupt nicht aufgegriffen (Was ist Differenzieren, warum macht man das,...). Das ist jedenfalls mein Eindruck, wenn ich auf meine Schulzeit zurückblicke. Aber dieses Thema wurde sicherlich schon oft in aller Ausführlichkeit diskutiert 
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