\partial M (Topologie)

25.09.2015, 17:45

Ronan

\partial M (Topologie)

Hallo! Bei folgendem Beispiel habe ich die ersten zwei Punkte (hoffentlich) hinbekommen, bei den letzten 2 habe ich aber Probleme...

$\begin{eqnarray*} \textit{U} (x) \end{eqnarray*}$ := der Umgebungsfilter von x

Für einen topologischen Raum (X,T) und $\begin{eqnarray*} M \subseteq X \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} \partial M := \overline{M} \backslash M^{°} \end{eqnarray*}$ . Folgendes ist zu beweisen:

i) $\begin{eqnarray*} \partial M \end{eqnarray*}$ ist immer abgeschlossen
ii) $\begin{eqnarray*} \partial M = \{ x \in X: \forall U \in \textit{U} (x) \Rightarrow U \cap M \ne \emptyset \ne U \backslash M \} \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} \partial M = \partial (M^c) \end{eqnarray*}$
iv) $\begin{eqnarray*} \partial M = \emptyset \Leftrightarrow M, M^c \in T \end{eqnarray*}$

i) $\begin{eqnarray*} ( \bar{M} \backslash M^o )^c = M^o \cup (X \backslash \bar{M} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M^o \end{eqnarray*}$ ist als Vereinigung offener Mengen offen und $\begin{eqnarray*} X \backslash \bar{M} \end{eqnarray*}$ ist offen, da das Komplement (= $\begin{eqnarray*} \bar{M} \end{eqnarray*}$ ) abgeschlossen ist. Daher ist $\begin{eqnarray*} \partial M \end{eqnarray*}$ als Komplement einer offenen Menge abgeschlossen.

ii) Aus Sätzen aus dem Analysisbuch weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} x \in \bar{B} \Leftrightarrow \forall U \in \textit{U} (x) : B \cap U \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in B^o \Leftrightarrow B \in \textit{U}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} " \subseteq " \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bar{M} \backslash M^o = \{ x : x \in \bar{M} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \neq M^o \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in \bar{M} \Rightarrow M \cap U \neq \emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \notin M^o \Rightarrow M \notin \textit{U}(x) \Rightarrow U \backslash M \neq \emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U \cap M = \{x: x \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in M \} \neq \{x: x \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \notin M \} = U \backslash M \end{eqnarray*}$ (solange M ungleich der leeren Menge ist)

$\begin{eqnarray*} " \supseteq " \end{eqnarray*}$

(eigentlich wieder das gleiche)

$\begin{eqnarray*} \forall U \in \textit{U} (x) : U \cap M \ne \emptyset \Rightarrow x \in \bar{M} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall U \in \textit{U} (x) : U \backslash M \neq \emptyset \Rightarrow M \notin \textit{U}(x) \Rightarrow x \notin M^o \end{eqnarray*}$

iii)

Hier komme ich nicht wirklich weiter. Ich habe die Definitionen aufgeschrieben, verstehe aber nicht, wie man von $\begin{eqnarray*} \{ x: x \in \bigcap \{ A \subseteq X: A \end{eqnarray*}$ abg., $\begin{eqnarray*} A \supseteq M \} \cap \{ x: x \notin \bigcup \{ O \in T: O \subseteq M \} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \{ x: x \in \bigcap \{ A \subseteq X: A \end{eqnarray*}$ abg., $\begin{eqnarray*} A \supseteq M^c \} \cap \{ x: x \notin \bigcup \{ O \in T: O \subseteq M^c \} \end{eqnarray*}$ kommt.

$\begin{eqnarray*} \bar{M} \backslash M^o = \{ x: x \in \bar{M} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \notin M^o \} = \{ x: x \in \bigcap \{ A \subseteq X: A \end{eqnarray*}$ abg., $\begin{eqnarray*} A \supseteq M \} \cap \{ x: x \notin \bigcup \{ O \in T: O \subseteq M \} = \{ x: x \in \bigcap \{ A \subseteq X: A \end{eqnarray*}$ abg., $\begin{eqnarray*} A \supseteq M^c \} \cap \{ x: x \notin \bigcup \{ O \in T: O \subseteq M^c \} = \bar{M^c} \backslash M^{c^o} \end{eqnarray*}$

iv)

$\begin{eqnarray*} \partial M = \emptyset \Rightarrow ( \bar{M} \backslash M^o ) = \emptyset \Rightarrow \forall x \in \bar{M}: x \in M^o \end{eqnarray*}$

Und jetzt komme ich nicht weiter....

25.09.2015, 18:26

10001000Nick1

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RE: \partial M (Topologie)
(i) ist in Ordnung.

Zitat:

Original von Ronan
ii)
[...]
$\begin{eqnarray*} " \subseteq " \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \bar{M} \backslash M^o = \{ x : x \in \bar{M} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \textcolor{red}{\neq} M^o \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \in \bar{M} \Rightarrow M \cap U \neq \emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \notin M^o \Rightarrow M \notin \textit{U}(x) \Rightarrow U \backslash M \neq \emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U \cap M = \{x: x \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in M \} \neq \{x: x \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \notin M \} = U \backslash M \end{eqnarray*}$ (solange M ungleich der leeren Menge ist)

Da hast du dich verschrieben, es muss natürlich $\begin{eqnarray*} x\not\in M^\circ \end{eqnarray*}$ heißen.
Was genau willst du im letzten Teil zeigen? Nachdem du $\begin{eqnarray*} U\setminus M\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ gezeigt hast, bist du doch schon fertig.

Das, was du bei (iii) geschrieben hast, sieht ziemlich unübersichtlich aus. Ich weiß auch nicht, ob man so wirklich zum Ziel kommt, ohne vorher durcheinander zu kommen.
Sehr einfach geht es, wenn du (ii) benutzt. Dann ist das praktisch ein Einzeiler.

Zitat:

Original von Ronan
iv)
$\begin{eqnarray*} \partial M = \emptyset \Rightarrow ( \bar{M} \backslash M^o ) = \emptyset \Rightarrow \forall x \in \bar{M}: x \in M^o \end{eqnarray*}$

Das stimmt schon mal. Und natürlich gilt $\begin{eqnarray*} M^\circ\subseteq M\subseteq \overline M \end{eqnarray*}$ . Was kann man hier also schlussfolgern?

Für die andere Richtung: Wenn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M^c \end{eqnarray*}$ beide offen sind, sind auch beide abgeschlossen. Was sind also das Innere und der Abschluss von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ?

28.09.2015, 23:05

Ronan

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Danke!

Bei ii) habe ich am Ende zu zeigen versucht, dass $\begin{eqnarray*} U \cap M \ne U \backslash M \end{eqnarray*}$ ist. Vielleicht habe ich da nur die Angabe falsch verstanden und man muss nur zeigen, dass beide ungleich der leeren Menge sind...

iii) Danke, mit der Definition aus ii) geht es wirklich viel einfacher!

$\begin{eqnarray*} \partial M = \{ x \in X: \forall U \in \textit{U} (x) \Rightarrow U \cap M \ne \emptyset \ne U \backslash M \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U \backslash M \ne \emptyset \Leftrightarrow \exists x: x \in U, x \notin M \Leftrightarrow \exists x: x \in U, x \in M^c \Leftrightarrow U \cap M^c \neq \emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U \cap M \neq \emptyset \Leftrightarrow \exists x: x \in U, x \in M \Leftrightarrow \exists x: x \in U, x \notin M^c \Leftrightarrow U \backslash M^c \neq \emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \partial M = \partial (M^c) \end{eqnarray*}$

iv) Mein Problem hier ist, dass ich nicht ganz verstehe, welche Mengen in der Topologie liegen. In metrischen Topologien liegen die Mengen, die bezüglich der Metrik offen sind. Liegen in dieser Topologie alle Mengen der Form $\begin{eqnarray*} \bar{M} \backslash M^o \end{eqnarray*}$ oder ist es etwas ganz anderes?

28.09.2015, 23:29

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Ronan
Vielleicht habe ich da nur die Angabe falsch verstanden und man muss nur zeigen, dass beide ungleich der leeren Menge sind...

Genau so ist es. Man kann (ii) auch so schreiben: $\begin{eqnarray*} \partial M = \{ x \in X\mid \forall U \in \textit{U} (x): U \cap M \ne \emptyset\wedge U \backslash M\neq \emptyset \} \end{eqnarray*}$ .

(iii) ist richtig.
Es gilt sogar $\begin{eqnarray*} U\setminus M=U\cap M^c \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} U\setminus M^c=U\cap M \end{eqnarray*}$ . Wenn man das weiß, kann man sich sogar noch die zwei Zeilen sparen und "sieht" sofort die Gleichheit von $\begin{eqnarray*} \partial M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \partial (M^c) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Ronan
iv) Mein Problem hier ist, dass ich nicht ganz verstehe, welche Mengen in der Topologie liegen. In metrischen Topologien liegen die Mengen, die bezüglich der Metrik offen sind. Liegen in dieser Topologie alle Mengen der Form $\begin{eqnarray*} \bar{M} \backslash M^o \end{eqnarray*}$ oder ist es etwas ganz anderes?

Es geht hier nicht um eine andere Topologie als vorher. $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist die Topologie des topologischen Raumes $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Das steht gleich am Anfang der Aufgabe: "Für einen topologischen Raum $\begin{eqnarray*} (X,T) \end{eqnarray*}$ ...".

29.09.2015, 00:51

Ronan

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Reicht es bei iv), wenn ich zeige, dass M offen ist?

29.09.2015, 09:20

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Ronan

iv) Mein Problem hier ist, dass ich nicht ganz verstehe, welche Mengen in der Topologie liegen. In metrischen Topologien liegen die Mengen, die bezüglich der Metrik offen sind.

Die offenen Mengen sind gerade so definiert, dass sie alle in der Topologie liegen bzw. die Mengen aus der Topologie sind die per definitionem "offenen" Mengen. In einem metrischen Raum kann man zeigen, dass die Mengen (Bälle), die man dort als "offen" bezeichnet, gerade die Basis einer Topologie bilden.

29.09.2015, 09:28

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Ronan
Reicht es bei iv), wenn ich zeige, dass M offen ist?

Nein, das reicht nicht. Benutze doch einfach die Definition von $\begin{align*} \partial M \end{align*}$ und die Tatsache, dass, wenn sowohl $\begin{align*} M \end{align*}$ wie auch $\begin{align*} M^c \end{align*}$ in $\begin{align*} T \end{align*}$ sind, dann $\begin{align*} M \end{align*}$ sowohl offen als auch abgeschlossen ist, d.h. das Innere und der Abschluss sind identisch.

29.09.2015, 17:19

Ronan

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Danke!

$\begin{eqnarray*} M, M^c \in T \Rightarrow M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M^c \end{eqnarray*}$ sind offen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow M^c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (M^c)^c =M \end{eqnarray*}$ sind abgeschlossen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow M= \bar{M} = M^o \Rightarrow \partial M = \bar{M} \backslash M^o = \emptyset \end{eqnarray*}$

30.09.2015, 16:39

Ronan

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Und für die andere Richtung

$\begin{eqnarray*} \partial M = \bar{M} \backslash M^o = \emptyset \Rightarrow \forall x \in \bar{M}: x \in M^o \Rightarrow \bar{M} = M^o = M \Rightarrow M \end{eqnarray*}$ ist offen und abgeschlossen und $\begin{eqnarray*} M^c \end{eqnarray*}$ ist offen (und abgeschlossen) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow M \in T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M^c \in T \end{eqnarray*}$

01.10.2015, 11:04

10001000Nick1

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Beides richtig. smile

19.10.2015, 01:53

Ronan

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Danke!

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