komplexe Gleichung lösen

25.09.2015, 17:34

gonzo91

komplexe Gleichung lösen

Hi, zu finden sind alle Lösungen der folgenden Gleichung in der Menge der komplexen Zahlen:

$\begin{eqnarray*} z*\overline{z}-z+\overline{z} = 1 \end{eqnarray*}$

Egal ob mit dem Ansatz: $\begin{eqnarray*} z* \overline{z} = |z|^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z-\overline{z} = 2*bi \end{eqnarray*}$

Ich komme einfach nicht auf eine vernünftige Form, die ich lösen kann.
Wäre für einen Ansatz dankbar!

25.09.2015, 17:53

bijektion

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Mit $\begin{eqnarray*} z=a+bi \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} z\cdot \overline{z}-(z-\overline{z})=a^2+b^2-2bi=1 \end{eqnarray*}$ zu lösen... was muss also für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gelten?

25.09.2015, 17:53

Bjoern1982

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Du kannst ja deinen Ansatz noch etwas zu $\begin{eqnarray*} z* \overline{z} = |z|^2=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ ergänzen und dann einen Koeffizientenvergleich für die beiden Seiten der Gleichung a²+b²-2bi=1 machen.

25.09.2015, 19:16

gonzo91

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Moin, ja soweit war ich schon, aber kam irgendwie hier nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} a^2 +b^2 -2bi = 1 \end{eqnarray*}$

Habe jetzt nochmal etwas rumprobiert:

$\begin{eqnarray*} a^2 +b^2 -2bi = 1 b^2 -2bi -1 = -a^2 \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt der Knackpunkt, links muss man wohl faktorisieren?

$\begin{eqnarray*} (b-i)^2 = -a^2 \end{eqnarray*}$

Dann die Wurzel ziehen, ergibt zwei Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} b-i = -ai b-i = ai \end{eqnarray*}$

also =>

$\begin{eqnarray*} b = -ai +i oder b = ai +i \end{eqnarray*}$

Sollte stimmen und die Interpretation dieser Lösung ist jetzt, die Lösungsmenge für Z ist:
$\begin{eqnarray*} L = \{-1,1\} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

26.09.2015, 07:55

Elvis

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Ja, aber umständlicher geht es nicht mehr.

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2-2bi=1\Rightarrow b=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^2=1\Rightarrow z=a=\pm 1 \end{eqnarray*}$

Du hättest besser auf den Hinweis von bijektion achten sollen.

26.09.2015, 08:41

gonzo91

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Vielen Dank für eure Hilfe. Mir ist allerdings noch nicht klar, warum die Gleichung impliziert, dass b = 0 ist.

26.09.2015, 08:53

Leopold

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Es wäre auch so gegangen:

$\begin{align*} z \cdot \overline{z} - z + \overline{z} = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( z + 1 \right) \left( \overline{z} - 1 \right) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ z = -1 \ \vee \ \overline{z} = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ z = -1 \ \vee \ z=1 \end{align*}$

26.09.2015, 09:52

Bjoern1982

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Zitat:

Mir ist allerdings noch nicht klar, warum die Gleichung impliziert, dass b = 0 ist.

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2-2b \cdot i=1+0 \cdot i \end{eqnarray*}$

Vergleiche Real- und Imaginäranteil der komplexen Zahl auf der linken und der rechten Seite.

26.09.2015, 14:39

gonzo91

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Zitat:

Mir ist allerdings noch nicht klar, warum die Gleichung impliziert, dass b = 0 ist.

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2-2b \cdot i=1+0 \cdot i \end{eqnarray*}$

Vergleiche Real- und Imaginäranteil der komplexen Zahl auf der linken und der rechten Seite.

Ja, so ist das logisch. Mir fehlt noch die Routine im Umgang mit komplexen Zahlen, deshalb hatte ich das "0*i" vergessen. Danke für die Erklärung!

Auch allen anderen vielen lieben Dank, die Sache ist jetzt klar. Freude

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