Geordnete Körper

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skyr1337 Auf diesen Beitrag antworten »
Geordnete Körper
Wir haben (K, ), a, b, c K

Zeigen Sie:

a b , a + c b + c

Mein Ansatz:

a + c b + c
b c - c + a
b c


Zeigen Sie:

a < b 0 < b - a

Mein Ansatz:

0 b/a - 1 , a,b 0
=> a = b -> Wiederspruch
=> a < b

Zeigen Sie:

a > 0 und b > 0 => ab > 0

Mein Ansatz:
a 0

1/ab < 0 => 1 < 0 => 1/ab > 0
Weils 0 < a < b => 0 < 1/ab => 0 < 1/b und 0 < 1/a
=> 0 < 1/b < 1/a


Zeigen Sie:
a > 0 => 1/a > 0

Annahme: 1/a 0
=> 1/a * a 0 * a => 1 0 wiederspruch!


und hier habe ich gar keinen Ansatz verwirrt

a 0 => a^2 = a * a > 0

Vielen dank schon im Voraus!!!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Sinn einer solchen Aufgabe ist es, die zu beweisenden Regeln auf die Axiome eines geordneten Körpers zurückzuführen. Insbesondere ist bei jedem Umformungsschritt nachzuweisen, aufgrund welchen Axioms die Umformung zulässig ist. Die ganze von dir vorgestellte Lösung ist somit wertlos.
Da es verschiedene Möglichkeiten gibt, die Axiome eines geordneten Körpers anzugeben, kann man dir nur helfen, wenn du einem die Axiome mitteilst, wie sie in der Vorlesung aufgeschrieben wurden.
Bei der zweiten Aufgabe soll statt des Kleinergleichzeichens vermutlich ein Implikationspfeil stehen.
skyr1337 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Rückmeldung. Dachte mir schon, dass ich da auf dem Holzweg bin...
Ja da hast recht, bei 2 sollte <=> stehen!

Anbei die Axiome. Könntest mir vll ein bsp aufzeigen?

Danke schon im Voraus!
Luscinia Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu Wink

ich springe mal kurz ein: Das sind die Körperaxiome, es geht hier um die zusätzlichen Axiome, die einen Körper zu einem angeordneten Körper machen.

Allerdings kann ich dir anhand derer mal an einem Beispiel zeigen, wie so ein Beweis zu führen ist. Ich lege dabei deine Axiomenliste zugrunde.

Behauptung: Für gilt stets .

Beweis: Es gilt . Diese Gleichung bezeichnen wir mit G1.

Jetzt verwenden wir das zu additiv Inverse Element, existent nach (A4). Es folgt aus obiger Gleichung:

.

Damit ist gezeigt. So ausführlich muss man das am Anfang machen!
skyr1337 Auf diesen Beitrag antworten »

Uiuiui danke! ok, da gibts noch einiges zu lernen Augenzwinkern

Habe ich jetzt die richtigen Axiome im Anahng?


a b <=> a + c b + c

Wenn ich das als bsp anschaue.

Kann ich nun aus (O1) den Umkehrschluss ziehen? a + c < b + c => a < c

=> a b <=> a + c b + c

oder bin ich da wieder falsch?
Luscinia Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind jetzt die richtigen Axiome im Anhang.

Zuerst möchte ich etwas klären: Du sollst also zeigen, dass


äquivalent ist zu ?

Im Eröffnungsbeitrag steht nämlich einfach ein Komma zwischen den Aussagen. Da war mir nicht klar, was du überhaupt machen sollst.


Einfach so kannst du nicht den Umkehrschluss (O1) ziehen, wieso sollte das gehen, es ist kein Axiom! Du musst dir angewöhnen, nur zu verwenden, was zur Verfügung steht und nicht einfach etwas dazuzudichten, was es nicht gibt Augenzwinkern

Es lässt sich allerdings in der Tat aus (O1) folgern, nur muss man da etwas trickreicher rangehen, als einfach den Umkehrschluss zu ziehen, was nicht erlaubt ist. Setze dir mal und . Wir haben jetzt . Folgere daraus mittels (O1), dass mit einem geeigneten , sodass dann die gewünschte Aussage dort steht. Du musst jetzt noch geschickt wählen.
 
 
skyr1337 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Luscinia

Genau, ich soll zeigen, dass es äquivalent ist!

Also ich würde demnach z = 0 nehmen

,
wenn ich von dieser Gleichung ausgehe
ergibt mir das:




wenn ich jetzt für x und y wieder die ursprünglichen variablen einsetze und subtrahiere kommen ich auf


Luscinia Auf diesen Beitrag antworten »

Du gehst nicht nach obigem Muster vor. Du musst bei jeder Umformung und jeder Folgerung hinschreiben, welches Axiom du verwendest, denn nur die darfst du verwenden. Schau dir nochmal meinen Beitrag oben an. Ich habe keinen einzigen Schritt nicht durch ein Axiom begründet.

ist unter diesem Aspekt nicht zielführend.


Edit: Ich bin jetzt offline, vielleicht kann dir in der Zwischenzeit jemand anderes weiterhelfen.
skyr1337 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilf, aber ich steh irgendwie total auf dem Schlauch...
Könntest du mir sagen mit welchem Axiom ich die Umformung anfangen soll?
Luscinia Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich dir doch schon gesagt, du folgerst mit Hilfe von O1, dass

. Wenn du hier wählst, war das grad für die Katz, denn dann steht da wieder , was wir vorher schon hatten. Du musst halt jetzt mal geschickt wählen, so dass dort steht, also dass und .
skyr1337 Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann nehmen ich wohl am besten für Z die Inverse von C oder? -> Nach A4 und dann kann ich mit A3 weiter machen.
Luscinia Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, das ist alles. Ich werde dir zusätzlich nun mal aufzeigen, was sich hinter deinem Weg oben verbirgt, was du da alles hättest begründen müssen, weil du Dinge benutzt, die du noch nicht zur Verfügung hast.

Du wolltest ja von startend folgern.

Sowas wie gibt es nicht. Das ist keine zweistellige Verknüpfung, die wir zur Verfügung haben, sondern kennzeichnet bisher nur die additiv inversen Elemente. Dort müsste also stehen.

Diese Umformung entspricht der Anwendung von Axiom O1 mit dem Inversen von und anschließender Anwendung von A4 auf der rechten Seite.

Zitat:
wenn ich jetzt für x und y wieder die ursprünglichen variablen einsetze und subtrahiere kommen ich auf


Wenn du hier erstmal für die ursprünglichen Werte einsetzt, erhälst du . Hier bräuchtest du jetzt, dass gilt, das ist bisher nicht gezeigt! Der einfachste Weg, dies zu zeigen geht darüber, zuerst zu zeigen, dass für alle , auch das müsste man zuerst zeigen! Danach könnte man dann Axiom D anwenden und dann aus wieder machen.

Dann hast du also erstmal

Das Subtrahieren, was du hier ansprichst, ist eigentlich eine Anwendung von A4 und A3, die kannst du aber erst anwenden, wenn direkt neben seinem Inversen steht. Um das zu bewerkstelligen, musst du mehrfach umklammern, d.h. A2 anwenden und die Summanden vertauschen, d.h. A1 anwenden. Erst danach kannst du dann A3 und A4 anwenden.

Hast du dies getan, bist du bei . Jetzt müsstest du wieder O1 mit , danach A2,A4,A3 anwenden und erst dann wärst du am Ziel.


Ich zeige dir dass, um aufzuzeigen, was eigentlich alles hinter deinen paar kleinen Umformungen steckt. Dass man das alles machen darf, ist nicht bewiesen und daher unheimlich umständlich. Es lohnt sich deswegen, zu überlegen, wie man einen Beweis am kürzesten führt und der jetzt gefundene Weg ist der kürzeste.

Versuche doch einmal, die Schritte alle nachzuvollziehen. Dann verstehst du vielleicht etwas besser, was du für solche Aufgaben verwenden darfst und was nicht.
skyr1337 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend

Vielen dank für die super Ausführungen!

Wenn ich mir das Ganze ansehe, ist es ja eigentlich auch verständlich und nachvollziehbar... Aber wenn ich da selber drauf kommen muss, ist's einfach sau schwer... Naja das wird schon noch kommen :-)

Eine Frage noch, wenn ich z.B. das für alle schon einmal gezeigt habe, dann kann ich doch in Zukunft einfach auf das Bezug nehmen und muss es nicht noch einmal beweisen oder?
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