Grenzwert von Folge mit ^n

26.09.2015, 18:41

Limes21

Grenzwert von Folge mit ^n

Meine Frage:
Hallo alle zusammen!

Seit ein paar Tagen versuche ich mir die Grenzwertberechnung näher zu bringen, was bis jetzt einigermaßen gut geklappt hat, nun jedoch stoß ich leider an meine Grenzen (passend zum Thema ;-)) und würde mich über Hilfestellungen freuen!

Die ursprüngliche Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{(5+n)*(1+5n)}{(1+n)^{2} } * (\frac{n+3}{n+2})^{5n+11} ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mittels Umformung, Kürzen, Ausklammern etc. bin ich soweit, dass ich auf folgenden Ausdruck gekommen bin:

$\begin{eqnarray*} (5 *1^{5n+11}) \end{eqnarray*}$

Dies erscheint mir soweit auch richtig (sollte dem nicht so sein, füge ich auch gerne alle meine Zwischenritte mit dem Formeleditor hier rein)

Nun jedoch weiß ich nicht weiter, was mache ich nun mit dem Teil $\begin{eqnarray*} 1^{5n+11} \end{eqnarray*}$ ?

Würde mich über Hilfestellungen freuen!

Korrektur aus Folgebeitrag übernommen und diesen entfernt. (Guppi12)

26.09.2015, 19:23

Guppi12

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Hallo,

das sieht mir sehr stark so aus, als hättest du in irgendeinem Schritt teilweise einen Grenzwert ausgewertet, etwa an einer Stelle, wo in einer Potenz in der Basis und im Exponenten ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vorkam und die Basis einen Grenzwert hatte und du die Basis dann einfach durch ihren Grenzwert ersetzt hast, kann das sein? Das geht nämlich nicht und führt zu falschen Ergebnissen. Du könntest hier einfach $\begin{eqnarray*} 1^{5n+11} = 1 \end{eqnarray*}$ vereinfachen, denn $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ hoch irgendwas ist immer $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Das Ergebnis $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ ist aber falsch. Vielleicht teilst du uns nochmal dein Ergebnis nach Kürzen etc. mit aber ohne den oben genannten Fehler Augenzwinkern

26.09.2015, 19:36

Limes21

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Ja genau, ich habe bereits bekannte Grenzwerte mit verwendet, wie ich es auch bei den einfacheren Aufgaben vorher machen konnte, aber gut, dann weiß ich, dass das nun nicht geht - leider! traurig

Meine kompletten Schritte waren:

1. Klammern im 1. Teil auflösen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{ (30+n+5n^{2} )}{(1+2n+n^{2}) } * (\frac{n+3}{n+2})^{5n+11} ) \end{eqnarray*}$

2. n^2 ausklammern:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{ (n^2*(5+\frac{1}{n} + \frac{30}{n^{2} } )}{(n^{2}*(1+\frac{2}{n} +\frac{1}{n^{2} } ) } * (\frac{n+3}{n+2})^{5n+11} ) \end{eqnarray*}$

3. n^2 wegküssen und gleichzeitig die Terme:
1/n
30 /n^2
2/n
1/n^2
alle durch 0 ersetzen, weil diese gegen 0 konvergieren

nach dem gleichen Schema bin ich auch mit dem rechten Teil des Ausdrucks vorgegangen Hammer

26.09.2015, 20:00

Guppi12

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Zitat:

Ja genau, ich habe bereits bekannte Grenzwerte mit verwendet, wie ich es auch bei den einfacheren Aufgaben vorher machen konnte, aber gut, dann weiß ich, dass das nun nicht geht - leider! traurig

Darauf möchte ich gerne nochmal eingehen, es ist sehr wichtig, den Unterschied zu kennen, wann man das machen darf und wann nicht. Du kennst ja sicherlich den Grenzwertsatz, der besagt, dass, falls $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N},(b_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergente Folgen sind mit Grenzwerten $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ , so konvergiert auch $\begin{eqnarray*} (a_n\cdot b_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und zwar gegen $\begin{eqnarray*} a\cdot b \end{eqnarray*}$ .

Das kann man jetzt auch mit vollständiger Induktion auf endliche Produkte verallgemeinern. Sind also $\begin{eqnarray*} (a^1_n)_{n\in\mathbb N},...,(a^j_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergente Folgen mit Grenzwerten $\begin{eqnarray*} a^1,...,a^j \end{eqnarray*}$ , so konvergiert auch das Produkt der Folgen und zwar gegen das Produkt der Grenzwerte. (Dabei sollen hier durch die hochgestellten Indize die verschiedenen Folgen unterschieden werden, mit Potenzieren hat das nichts zu tun.)

Warum ist nun dieser Satz hier nicht anwendbar? Es liegt daran, dass bei $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+3}{n+2}\right)^{5n+11} \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Faktoren nicht konstant ist, es werden ja immer mehr Faktoren, je größer $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist. Das war aber oben nicht erlaubt. Zuerst wählen wir irgendein $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ , das kann zwar beliebig groß sein, ist aber fest, sobald einmal gewählt. Dann nehmen wir uns $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ verschiedene Folgen her und wenden den Satz an. Eine wachsende Anzahl von Folgen war nicht erlaubt.

Nun aber zur Aufgabe.

Das Klammern auflösen wäre hier nicht notwendig, schadet aber natürlich auch nicht. Mir ist nur nicht ganz klar, wie du auf den Zähler kommst. Bei mir ist $\begin{eqnarray*} (5+n)(1+5n) \end{eqnarray*}$ was anderes verwirrt

Das ist aber für die Aufgabe jetzt nicht so wichtig.

Du hast hier jetzt also das Produkt zweier Folgen, einmal die Folge, die aus dem Bruch mit jeweils 3 Summanden besteht und einmal die Potenz. Wenn du nachweisen kannst, dass die Potenzfolge konvergiert, kannst du hier die Grenzwertsetze anwenden und in der Tat dann die Grenzwerte getrennt berechnen. Das geht hier, weil die Anzahl der Faktoren konstant gleich 2 ist (wie gesagt, sich den Unterschied einzuprägen ist wichtig).

Den Grenzwert des linken Faktors hast du auch richtig bestimmt mit Hilfe der Grenzwertsätze. Ich kann es nicht genug betonen: Das geht hier, weil die Anzahl der Summanden jeweils konstant ist, nämlich 3.

Es geht also nur noch darum, den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+3}{n+2}\right)^{5n+11} \end{eqnarray*}$ richtig zu bestimmen. Da gebe ich mal den Tipp, den Zähler aufzuteilen in $\begin{eqnarray*} n+2 + 1 \end{eqnarray*}$ und den Bruch dann auseinanderzuziehen. Erinnert dich die Folge, die du dann hast, an irgendwas?

26.09.2015, 20:22

limes21

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Oh wie peinlich, ist natürlich 5n^2+26n+5
ein hoch auch unsauberes schreiben Big Laugh

Vielen Dank für deine Erklärung am Anfang, auch

Wenn ich den Bruch zerlege habe ich ja:

$\begin{eqnarray*} (\frac{n+2}{n+2} + \frac{1}{n+2} )^{5n+11} \end{eqnarray*}$

kann dann den ersten Teil wegkürzen zu :

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{n+2} )^{5n+11} \end{eqnarray*}$

dies sieht stark danach aus, als wenn der Grenzwert später etwas mit der eulerschen Zahl zu tun haben wird, zumindest habe ich schon den Ausdruck :

$\begin{eqnarray*} ( 1+\frac{1}{n} )^{n} = e \end{eqnarray*}$ gesehen.

Leider habe ich seit Jahre nichts mehr in diese Richtung gemacht, so dass mir nicht einfallen mag, wie ich meinen Term in einen Ausdruck dieser Art bringen könnte Hammer

26.09.2015, 20:28

Guppi12

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Zitat:

kann dann den ersten Teil wegkürzen zu : $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{n+2} )^{5n+11} \end{eqnarray*}$

Ich vermute jetzt einfach mal, das war wieder unsauberes Schreiben und da fehlt ein $\begin{eqnarray*} 1+... \end{eqnarray*}$ ?

Du liegst schon ganz richtig, das sieht nach eulerscher Zahl aus. Das hier $\begin{eqnarray*} ( 1+\frac{1}{n} )^{n} = e \end{eqnarray*}$ ist aber natürlich falsch. Den Limes darf man nicht weglassen.

Stören tut ja irgendwie das $\begin{eqnarray*} n+2 \end{eqnarray*}$ im Nenner. Substituiere doch mal $\begin{eqnarray*} n+2 =: k \end{eqnarray*}$ und sieh, was dann heraus kommt. Dabei geht natürlich $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ , sodass wir dabei auch einfach von $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} \end{eqnarray*}$ übergehen können.

26.09.2015, 20:49

Limes21

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Okay, ich ersetze also n+2 durch k

und erhalte damit:

$\begin{eqnarray*} ( 1+\frac{1}{k} )^{5n+11} \end{eqnarray*}$

ich habe nun ein wenig länger drüber nachgedacht, aber ich sehe leider nicht den Sinn dahinter, warum ich nun den Term n+2 durch k ersetzt habe, ich verfälsche damit doch alles oder nicht?

verwirrt

26.09.2015, 20:55

Guppi12

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Du musst natürlich jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch einen Ausdruck in $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ersetzen, auch das im Exponenten.

Zitat:

ich verfälsche damit doch alles oder nicht?

Nein, du führst ja nur eine Abkürzung ein. Für $\begin{eqnarray*} n+2 \end{eqnarray*}$ schreiben wir jetzt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Eigentlich müssten wir dann natürlich auch $\begin{eqnarray*} \lim_{k-2\to\infty} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \end{eqnarray*}$ schreiben, aber es läuft natürlich aufs selbe hinaus, ob wir $\begin{eqnarray*} k-2\to\infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ betrachten.

26.09.2015, 20:58

Limes21

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Achso, dass wir nun jedes n durch k ersetzen, macht es schon ein weniger sinnvoller für mich, auch wenn ich immer noch nicht die Erleuchtung habe...

Ich habe nun also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } ( 1+\frac{1}{k} )^{5k+9} \end{eqnarray*}$

oder?

26.09.2015, 21:23

Guppi12

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Wie bist du auf $\begin{eqnarray*} 5k+9 \end{eqnarray*}$ gekommen? Überleg dir nochmal, ob das wirklich richtig ist.

26.09.2015, 21:31

Limes21

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naja, 5n+11 ist doch nichts anderes als 5*n+2+9 oder nicht ?

und du meintest ich soll n+2 durch k ersetzen, was für mich dann im Exponenten: 5*k+9 ist ?

Ist das mal wieder viel zu naiv an die Sache rangegangen? Hammer

26.09.2015, 21:33

Guppi12

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Es gilt Punktrechnung vor Strichrechnung. Dor steht nicht 5(n+2)+9, sondern 5n+2+9. Bei erster Variante wäre dein Ergebnis richtig. Sowas sollte im Hochschulbereich eigentlich sitzen unglücklich

26.09.2015, 21:44

Limes21

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Wenn man in seiner bisherigen Schullaufbahn nicht mit Mathe in Kontakt kam und die Schulzeit schon ein wenig zurück liegt, kann so etwas nunmal passieren, auch wenns wohl nicht sollte..

ich traue mich nun gar nicht mehr zu fragen ob das nun richtig ist für den Exponenten traurig

:

5*(k-2)+11

ich kann da doch nicht einfach 5k+11 hinschreiben, dann würde ich doch an der einen stelle n+2 durch k ersetzen und dann der anderen stelle n für k???

26.09.2015, 21:46

limes21

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*Studiumslaufbahn natürlich
sollte Autokorrektur wohl lieber abstellen...

26.09.2015, 22:04

Guppi12

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In welchem Kontext musst du dich denn nun mit dieser Aufgabe beschäftigen, wenn Mathe im Studium eigentlich bisher keine Rolle spielte?

5*(k-2)+11 ist richtig und das kannst du jetzt ausmultiplizieren.

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