Vollständige Induktion

26.09.2015, 19:43

Adramelec

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Vollständige Induktion

Hallo Leute!

Ich habe folgende Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k}k^{2} = (-1)^{n}\frac{n(n+1)}{2} <br /> \end{eqnarray*}$

Der Induktionsanfang ist ja einfach - ich setze einmal die 1 ein, und stelle fest das auf beiden Seiten -1 als Ergebnis rauskommt.

Was mir jetzt nicht klar ist, wie mache ich den Induktionsschluss.
Ich weiß ich muss irgendwie erweitern um (k+1) bzw. um (n+1)?

Hab ich das richtig verstanden das ich eigentlich wie folgt verfahren müsste:
1) Ich setze in den rechten Teil der Gleichung überall statt n n+1 ein.
2) Dann erweitere ich den rechten Teil der Gleichung um mit +(n+1). Und versuche dann auf die gleiche Formel wie bei Punkt 1) zu kommen?

Wenn der Ansatz mal richtig ist, würde ich mal die ersten Teilergebnisse posten?

Danke!

26.09.2015, 20:02

bijektion

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Zitat:

1) Ich setze in den rechten Teil der Gleichung überall statt n n+1 ein.

Ja, das ist das, was das erwartete Ergebnis ist.

Zitat:

2) Dann erweitere ich den rechten Teil der Gleichung um mit +(n+1). Und versuche dann auf die gleiche Formel wie bei Punkt 1) zu kommen?

Wenn du meinst, du versuchst $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}(-1)^kk^2 \end{eqnarray*}$ auf die Form der rechten Seite zu bringen, dann ja.

26.09.2015, 20:47

Adramelec

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Hi,

also den ersten Teil würde ich dann so erledigen:
$\begin{eqnarray*} <br /> (-1)^{n+1}\frac{(n+1)(n+1+1)}{2} <br /> \end{eqnarray*}$

Das ergänze ich auf :
$\begin{eqnarray*} <br /> (-1)^{n+1}\frac{(n+1)(n+2)}{2} <br /> \end{eqnarray*}$

Und das kann ich nun aus multiplzieren auf:
$\begin{eqnarray*} <br /> (-1)^{n+1}\frac{n^{2}+3n+2}{2} <br /> \end{eqnarray*}$

Okay jetzt erledige ich den Punkt 2:
$\begin{eqnarray*} <br /> (-1)^{n}\frac{(n)(n+1)}{2}+(n+1) <br /> \end{eqnarray*}$

Das bringe ich mal auf einen Bruch.
$\begin{eqnarray*} <br /> (-1)^{n}\frac{(n)(n+1)}{2}+\frac{2*(n+1)}{2}<br /> \end{eqnarray*}$

Nun multipliziere ich aus:
$\begin{eqnarray*} <br /> (-1)^{n}\frac{n^{2}+n}{2}+\frac{2n+2}{2}<br /> \end{eqnarray*}$

Auf einen Bruchstrich und 2n+n addiert bedeutet das:
$\begin{eqnarray*} <br /> (-1)^{n}\frac{n^{2}+3n+2}{2}<br /> \end{eqnarray*}$

Das würde ja ansich nicht so schlecht aussehen. Allerdings steht bei $\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \end{eqnarray*}$ - Etwas anderes wie oben.. Also ganz passt es wohl nicht?

26.09.2015, 20:52

bijektion

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Das ausmultiplizieren kannst du dir sparen. Bei 2) hast du einen Fehler gemacht: Der ( $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ )-te Summand ist $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1}(n+1)^2 \end{eqnarray*}$ .

26.09.2015, 21:05

Adramelec

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So:
$\begin{eqnarray*} <br /> (-1)^{n+1}\frac{(n)(n+1)}{2}+(n+1) <br /><br /> \end{eqnarray*}$

Oder bin ich hier komplett verkehrt?

26.09.2015, 21:47

Jaiel365

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So solltest du anfangen mit dem Beweis:

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{k}k^{2} = \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k}k^{2} +(-1)^{n+1}(n+1)^{2} = ... \end{eqnarray*}$

Aus deiner Induktionanahme kannst du ja für $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k}k^{2} \end{eqnarray*}$ etwas einsetzen...

und dann solltest du irgendwann mal auf
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1}\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} <br /><br /> \end{eqnarray*}$
hinauskommen.

Hoffe das hilft als Anstoß

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26.09.2015, 21:50

Jaiel365

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Hey sorry du hast es oben ja schon fast. Genau so und jetzt nur noch einmal umformen damit man es abschließen kann

26.09.2015, 22:06

Adramelec

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Aber warum schreibe ich genau bei -1 nochmal das (n+1) hin?

Das versteh ich noch nicht ganz.. Weil ums zu beweisen häng ich einfach an den ganzen Ausdruck (n+1) und deswegen weiß ich nicht, warum ich das nochmal bei -1 schreiben soll?

Danke Wink

Wink

26.09.2015, 23:08

Jaiel365

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Hallo,

guck dir meinen Anfang nochmal an, so sollte auch dein Beweisteil anfangen:

$\begin{eqnarray*} <br /><br /><br /> \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{k}k^{2} = \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k}k^{2} +(-1)^{n+1}(n+1)^{2} = ... \end{eqnarray*}$

Merkst du wie ich aus $\begin{eqnarray*} <br /><br /><br /> \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{k}k^{2} \end{eqnarray*}$

das hier extrahiert habe: $\begin{eqnarray*} <br /><br /> \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k}k^{2} +(-1)^{n+1}(n+1)^{2} = ... \end{eqnarray*}$

Wenn nicht schau dir dieses coole Video dazu an: youtube(punkt)com/watch?v=wbD35N4N4lI

27.09.2015, 11:40

Adramelec

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Hallo,

nein diesen letzten Schritt versteh ich einfach nicht.

Mich verwirrt glaub ich auch etwas, das ich links k stehen haben und rechts n und ich nicht weiß, was ich wo dadurch ersetze.

Ich würde nochmal gern von Anfang an beginnen (damit ich da auch weiß, was ich tue ;D)

Das ist meine Formel: $\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k}k^{2} = (-1)^{n}\frac{n(n+1)}{2} <br /><br /> \end{eqnarray*}$

1. Induktionsanfang:
Hier setze ich nun überall mal 1 ein um zu sehen ob überhaupt mein Anfang stimmt:
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{1}1^{2} = (-1)^{1}\frac{1(1+1)}{2} <br /><br /> \end{eqnarray*}$

Das ergibt beides -1 und ist somit mal korrekt.

2. Induktionsschluss
2.1 Induktionsvoraussetzung
$\begin{eqnarray*} <br /> (-1)^{1+2+...+n}1+2+...+n^{2} = (-1)^{n}\frac{n(n+1)}{2} <br /><br /> \end{eqnarray*}$
(Oder müsst ich hier k schreiben?)

Nun das ganze für nächste natürliche Zahl umformen also auf:
$\begin{eqnarray*} <br /> (-1)^{1+2+...+n+(n+1)}1+2+...+n+(n+1)^{2} = (-1)^{(n+1)}\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} <br /><br /> \end{eqnarray*}$
Dann versuch ich das noch bisschen auszumultiplizieren .. Würde ich auf:
$\begin{eqnarray*} (-1)^{(n+1)}\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-1)^{(n+1)}\frac{n^{2}+2n+1n+2}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-1)^{(n+1)}\frac{n^{2}+3n+2}{2} \end{eqnarray*}$

2.2 Induktionsschluss
Nun setze ich links das aus der Induktionsannahme ein mit (n+1) und sollte auf das wie oben rauskommen.
Nun ersetze ich links alles bis auf $\begin{eqnarray*} (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n}\frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \end{eqnarray*}$

So wenn ich das nun ausrechne komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n}\frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n}\frac{n^{2}+n+2n+2}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n}\frac{n^{2}+3n+2}{2} \end{eqnarray*}$

Das sieht zwar sehr ähnlich aus, aber bei $\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \end{eqnarray*}$ hab ich noch immer das n stehen, es sollte aber das n+1 statt n dort stehen, damit es ident ist.. ?!

27.09.2015, 14:12

Mathema

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Nach deinem letzten Beitrag überrascht es mich wenig, dass du den Anfang von Jaiel365 nicht nachvollziehen kannst. Dir scheint das Summenzeichen und deren Bedeutung bzw. Umgang damit leider überhaupt nicht klar zu sein. Dann wird diese Aufgabe natürlich schwierig.

Also:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{4} (-1)^{k}k^{2} \end{eqnarray*}$ bedeutet ausführlich geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{4} (-1)^{k}k^{2}=(-1)^1\cdot 1^2+(-1)^2\cdot 2^2+(-1)^3\cdot3^2+(-1)^4\cdot 4^2 \end{eqnarray*}$

Also bedeutet $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k}k^{2} \end{eqnarray*}$ ausführlich geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k}k^{2}=(-1)^1\cdot 1^2+(-1)^2\cdot 2^2+(-1)^3\cdot3^2+(-1)^4\cdot 4^2+...+(-1)^{n-1}\cdot (n-1)^2+(-1)^n\cdot n^2 \end{eqnarray*}$

Und nicht:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> \textcolor{red}{(-1)^{1+2+...+n}1+2+...+n^{2}} = (-1)^{n}\frac{n(n+1)}{2} <br /><br /><br /> \end{eqnarray*}$

Im Induktionsschluss von n auf n+1 ersetzen wir nun jedes n eben durch n+1. Wir erhalten also:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{k}k^{2} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet wieder ausführlich geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{k}k^{2}=\textcolor{blue}{(-1)^1\cdot 1^2+(-1)^2\cdot 2^2+(-1)^3\cdot 3^2+...+(-1)^n\cdot n^2}+(-1)^{n+1}\cdot (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Und was ist nun der blaue Teil? Na - das ist doch gerade wieder deine Ausgangssumme, die nur bis n läuft, also:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{k}k^{2}=\textcolor{blue}{(-1)^1\cdot 1^2+(-1)^2\cdot 2^2+(-1)^3\cdot 3^2+...+(-1)^n\cdot n^2}+(-1)^{n+1}\cdot (n+1)^2 =\textcolor{blue}{\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k}k^{2}}+(-1)^{n+1}\cdot (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Dann kannst du dein IV ins Spiel bringen. Ich hoffe es ist dir nun etwas klarer...

Wink

Wink

27.09.2015, 14:53

Adramelec

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Hi ja danke, mir war die Bedeutung des Summenszeichen bewusst, ich habe aber absoluten Schwachsinn aufgeschrieben.

Wenn ich nun in deine letzte Formel einsetze bekomme ich wie folgt raus:
$\begin{eqnarray*} (-1)^{(n+1)}*(n+1)^{2}+(-1)^{n}*\frac{n*(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$
Durch jetzt einsetzen von 1 sehe ich schon, dass sowohl bei dieser Formel als auch bei meiner (n+1) Formel das gleiche rauskommt.

Nun wäre es aber super, wenn ich diese Formel nun auch entsprechend umforme, damit das gleiche wie hier: $\begin{eqnarray*} (-1)^{(n+1)}\frac{n^{2}+3n+2}{2} \end{eqnarray*}$ rauskommt.

Nur darauf komm ich so ganz und gar nicht. Was wäre hier der beste Ansatz um gut zu beginnen?

Danke schonmal! Freude

Freude

27.09.2015, 15:05

Mathema

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Zitat:

Wenn ich nun in deine letzte Formel einsetze bekomme ich wie folgt raus:

Ist dir nun auch klar, woher dieser Term kommt?

Zitat:

Nun wäre es aber super, wenn ich diese Formel nun auch entsprechend umforme, damit das gleiche wie hier: $\begin{eqnarray*} (-1)^{(n+1)}\frac{n^{2}+3n+2}{2} \end{eqnarray*}$ rauskommt

Nun mit dem Ergebnis vor Augen ist es doch nicht so schwierig nun:

Wir benötigen also:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{k}k^{2}=\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k}k^{2}+(-1)^{n+1}\cdot (n+1)^2 =(-1)^n\frac{n(n+1)}{2}+(-1)^{n+1}(n+1)^2=...=(-1)^{n+1}\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

Ich würde dann so beginnen:

$\begin{eqnarray*} (-1)^n\frac{n(n+1)}{2}+(-1)^{n+1}(n+1)^2=(-1)^{n+1}\frac{-n(n+1)}{2}+(-1)^{n+1}\frac{2(n+1)^2}{2}=... \end{eqnarray*}$

Nun du wieder...

27.09.2015, 15:21

Adramelec

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Zitat:

Ist dir nun auch klar, woher dieser Term kommt?

Ja.

smile

Ich verstehe aber deinen ersten Umformungsschritt schon nicht, was hast du da gemacht um auf die Umformung zu kommen? Ich befürchte, bei mir scheitert es gerade an einfachen Umformungen/Zusammenfassen/Herausheben/Kürzen/... traurig

traurig

27.09.2015, 15:27

Mathema

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Das ist einfachste Termumformung! Dann mal ausführlich:

$\begin{eqnarray*} (-1)^n\frac{n(n+1)}{2}=(-1)^n\frac{1n(n+1)}{2}=(-1)^n\frac{-1\cdot(-1)n(n+1)}{2}=(-1)^n\cdot(-1)\frac{-1n(n+1)}{2}=(-1)^{n+1}\frac{-n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Der 2. Summand ist hoffentlich klar.

27.09.2015, 16:03

Adramelec

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Danke, damit hab ich es dann auch lösen können. :-) Wink

Wink

27.09.2015, 16:05

Mathema

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Wunderbar. Freude

Freude

Gern geschehen.

Dir noch einen schönen Sonntag.

Wink

Wink

27.09.2015, 16:06

Adramelec

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Danke dir auch smile

smile

27.09.2015, 16:33

Mathema

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PS: Wenn du möchtest kannst du ja deine Lösung nun noch mal ordentlich aufschreiben, so wie es in einer Prüfung aussehen sollte. Dein IA sollte z.B. auch nicht so stehen bleiben:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} <br /><br /> \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{1}1^{2} = (-1)^{1}\frac{1(1+1)}{2} <br /><br /><br /> \end{eqnarray*}$

Zudem sollte im IS deutlich erkennbar werden, an welcher stelle du deine IV nutzt.

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