Bereichsintegral eines Zylinderringes

26.09.2015, 21:18	skulpt	Auf diesen Beitrag antworten »
Bereichsintegral eines Zylinderringes Folgende Angabe: Berechnen sie $\begin{eqnarray} \int \int \int _{Z}\|y\|z\sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdydz \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} Z\subset \mathbb{R}^{3} \end{eqnarray}$ der Zylinderring $\begin{eqnarray} Z=\{(x, y, z) \| 0\leq z\leq3, \ 1\leq x^{2}+y^{2} \leq 2\} \end{eqnarray}$ ist. Die Bereiche sind: $\begin{eqnarray} r: [1, \sqrt{2}], \phi: [0, 2\pi] \end{eqnarray}$ So, nun dachte ich daran, die x- und y-Achse in Polarkoordinaten umzuwandeln. Es ist ja ein Zylinderring, also bräuchte ich nicht umbedingt die Umwandlung in Kugel-Polarkoordinaten, oder? Jedenfalls ist mein neuer Bereich dann $\begin{eqnarray} Z=\{(r, \phi, z) \| 0\leq z\leq3, \ 1\leq r \leq \sqrt{2}\} \end{eqnarray}$ . Eingesetzt in mein Integral hab ich dann: $\begin{eqnarray} \int \int \int _{Z}\|rsin(\phi)\|z\sqrt{r^{2}}drd\phi dz \end{eqnarray}$ Ich integrier also zuerst an r (das r im Betrag sollte ich herausziehen können, da es an sich nie negativ sein sollte, oder?), und kriege raus: $\begin{eqnarray} \frac{r^{3}\|sin\phi\|z}{3}\mathop{\big\|}\limits_1^{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}\|sin\phi\|z}{3}-\frac{1\|sin\phi\|z}{3} \end{eqnarray}$ Jetzt integrier ich an $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ . Jetzt komm ich an das Problem: meine Lösung ist (zumindest die erste Hälfte, bei der zweiten schauts außerhalb der Konstanten genauso aus) $\begin{eqnarray} -\frac{2\sqrt{2}}{3}cos(\phi)sgn(sin(\phi))\mathop{\big\|}\limits_0^{2\pi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -cos(2\pi) \end{eqnarray}$ ist -1, genauso ist $\begin{eqnarray} sgn(sin(2\pi)) \end{eqnarray}$ 0, also passiert mit dem Vorzeichen nix. Ich hab also am Ende stehen: $\begin{eqnarray} -\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3} \end{eqnarray}$ , es löscht sich also aus. Daher stelle ich die Frage: was mach ich falsch? Integriert sollte das doch richtig sein. Auch den Bereich bei $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ kann ich mir nicht anders vorstellen - es muss ja ein Kreis sein. Kann es da einfach sein, dass es keinen Bereich unter der Funktion gibt, der im Definitionsbereich liegt?
27.09.2015, 23:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest die Bereiche in den Variablen $\begin{align} x,y,z \end{align}$ und in den Variablen $\begin{align} r, \varphi, z \end{align}$ nicht beide Male $\begin{align} Z \end{align}$ nennen. Bei der Integration hast du die $\begin{align} z \end{align}$ -Koordinate belassen und in der $\begin{align} xy \end{align}$ -Ebene Polarkoordinaten eingeführt. Beachte, daß da von der Funktionaldeterminante noch ein Faktor $\begin{align} r \end{align}$ dazukommt. Der korrekte Integrand ist daher $\begin{align} r^3 \cdot \left\| \sin \varphi \right\| \cdot z \end{align}$ . Ferner ist der Integrand ein Produkt dreier Faktoren, wobei jeder Faktor von genau einer der Variablen abhängt, die Integrationsgrenzen sind konstant. Daher kannst du einfach $\begin{align} \left(\int_1^{\sqrt{2}} r^3 ~ \dd r \right) \cdot \left(\int_0^{2 \pi} \left\| \sin \varphi \right\| ~ \dd \varphi \right) \cdot \left( \int_0^3 z ~ \dd z \right) \end{align}$ rechnen. Beim Sinusintegral würde ich nicht groß mit einer globalen Stammfunktion arbeiten, sondern mir einfach den Graphen skizzieren. Dann ist sofort klar, wie das Integral zu berechnen ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »