Vollständige Induktion

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Sascharrr Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion
Hi,
ich hänge gerade an einer Aufgabe folgender Aufgabe fest:

Sei . Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion:


Da mich die beiden Therme ebenfalls an die Summenformel erinnern, nur dass es sich hier um multiplikation statt addition handelt, habe ich einfach mal nach Produktformeln gesucht und auch etwas dazu gefunden. Leider habe ich trotzdem noch nicht herausgefunden, was genau ich hier machen soll.

Ich habe mir gedacht, dass es irgendwie in diese Richtung gehen muss:


Ich komme aber auf kein Ergebnis für n=1, m=1. Völlig egal, wie ich die rechte und linke Seite verändere.

Daher die Frage, ob mir jemand mit ein paar richtungsweisenden Tips helfen kann?

Gruß

Sascha
rg Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (mit Produktformel?)
Ich weiss nicht, was Deine zweite Formel darstellen soll, aber falsch ist sie eh: Du kannst nicht 2x den gleichen Laufindex haben.

Die Aufgabe selber laeuft ganz straight nach bekanntem Muster. Neue Ideen brauchst Du dafuer nicht.
Undercover Troll Auf diesen Beitrag antworten »

Über diese Umwandlung muss ich auch etwas stutzen...doch sie scheint falsch zu sein...

Jedoch weiß ich dass wenn man 2. Variablen hat dann muss man erstmal in deinem Fall beweisen dass es für beliebige n bei festem m geht dann beweist man dass es für beliebige m bei festem n geht und dann zum Schluss nimmt man die Ergebnisse aus den 2 Beweisen und beweist dass dann aus A(n,m)=>A(n+1,m+1) gilt
rg Auf diesen Beitrag antworten »

Geh, Bloedsinn. Hier ist eine Induktion nach n (bei festem m) zu machen und sonst nix.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion
Zitat:
Original von Sascharrr
...
Da mich die beiden Therme ebenfalls an die Summenformel erinnern, ...


Bitte: Terme, auch wenn sie heiss sind Big Laugh
Sascharrr Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (mit Produktformel?)
Schade, ich habe bei der Summen- und Produktformel an eine for-Schleife gedacht und ging davon aus, man könne diese auch verschachteln.

Wie die vollständige Induktion abläuft habe ich mittlerweile verstanden, glaube ich zumindest, aber was ich bei dieser Aufgabe machen soll weiß ich überhaupt nicht.

Ich frage mich, wie die linke und rechte Seite der Summenformel aussehen.
Egal was ich mache, es passt nicht.

Zitat:
Original von mYthos
Bitte: Terme, auch wenn sie heiss sind Big Laugh


Muss am qualmenden Kopf liegen.
 
 
Undercover Troll Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dann wäre das hier die richtige Art es darzustellen



aber so würde man die Variable l einführen. Also geht das in die falsche Richtung jedoch kannst du daraus erkennen wie man das umstellen und anders schreiben kann
Undercover Troll Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber das ist falsch was ich angelegt habe!

Ich merke gerade dass es zu spät ist ncihts für ungut
Trollitrollie Auf diesen Beitrag antworten »

Das 2. und 3. nach dem = bitte nciht beachten. Der erste Term aber stellt etwas richtiges dar jedoch wie gesagt greife ich hier auf eine neue laufvariable zurück
rg Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (mit Produktformel?)
Zitat:
Original von Sascharrr
Schade, ich habe bei der Summen- und Produktformel an eine for-Schleife gedacht und ging davon aus, man könne diese auch verschachteln.


Ja, aber dann doch eben nicht mit dem gleichen Laufindex. So z.B. geht es:



Fuer den Induktionsbeweis fuehrt das nicht weiter, die Aussage ist damit nur formal anders aufgeschrieben.

Wo ist eigentlich Dein Problem? Das geht ganz straight:



Dann Induktionsvoraussetzung investieren und ausrechnen. Fertig.
Sascharrr Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (mit Produktformel?)
Ich hatte die vollständige Induktion am Donnerstag zum ersten Mal und habe bisher keine Aufgabe gesehen, die so aussah. Die "..." irritieren mich am meisten.

Das einzige, was bei mir klappt ist n=1 und m=2 zu setzen. Sobald ich n=2 setze geht es nicht mehr auf.
rg Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (mit Produktformel?)
Dann setze doch einfach mal m=2, schreibe die Formel dafuer auf, und beweise dann die per Induktion nach n.
Sascharrr Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (mit Produktformel?)
Sorry, ich habe mich verschrieben:
Ich meinte n=1 und m=1. Wenn ich einen Wert verändere kriege ich nicht mehr das Selbe auf beiden Seiten raus. Aber ich weiß auch gar nicht, was im linken und rechten Teil zu stehen hat. Da spiele ich schon die ganze Zeit mit rum.
rg Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (mit Produktformel?)
Haettest Du auch gleich sagen koennen, dass Du mit den Ellipsen nichts anfangen kannst. Die sollen ein Muster andeuten. Wie z.B. in .

Z.B. ist fuer

(m+1 Faktoren),

oder noch konkreter mit m=4

.

Fuer lautet die Formel, die Du zeigen sollst:

.
Sascharrr Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (mit Produktformel?)
Zitat:
Original von rg
Haettest Du auch gleich sagen koennen, dass Du mit den Ellipsen nichts anfangen kannst. Die sollen ein Muster andeuten. Wie z.B. in .

Z.B. ist fuer

(m+1 Faktoren),

oder noch konkreter mit m=4

.

Fuer lautet die Formel, die Du zeigen sollst:

.


Was Ellipsen sind wusste ich vorher nicht, aber auf n! hätte ich eigentlich selber kommen können, auch wenn ich mit Fakultäten auch noch nie was gemacht habe.

Habe die Aufgabe aber, dank deiner Antwort, lösen können. Dass die Behauptung auch für ein beliebiges m gilt, brauche ich aber nicht beweisen?
rg Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (mit Produktformel?)
Doch, Du sollst die Formel fuer beliebiges m beweisen. Musst Du halt auch ein bisschen mit ... arbeiten. Was damit hier gemeint ist, ist ja jetzt klar. Oder Du nimmst die Formel oben ohne "...", falls Du was gegen "..." hast. Die Induktion geht immer nach n, m ist beliebig aber fest.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Inhaltlich macht es keinen Unterschied, aber aufgrund von

und

kann man



mit diesen Binomialkoeffizienten auch als



schreiben. In dieser Form ist die Behauptung sicher manchen auch vertraut, und das im Induktionsschritt nötige ist als Pascal-Regel (aus dem Pascalschen Dreieck) wohlbekannt.
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