Expontentialgleichung mit Logarithmus lösen

27.09.2015, 15:05

johnny94

Auf diesen Beitrag antworten »

Expontentialgleichung mit Logarithmus lösen

Meine Frage:
Ich habe schon einiges herumprobiert, aber ich komme einfach nicht dahinter. Habe auch schon danach gesucht, aber vielleicht nach dem Falschen.
Ich hoffe irgendjemand kann meinen fatalen Fehler finden, dürft wahrscheinlich nicht zu schwer sein. Big Laugh

Big Laugh

Danke.

Geben Sie die Lösungsmenge L folgender Gleichung für an.

4^(x+1)+16^(x-1)-1064960=0

Lösung = {6}

Meine Ideen:

[attach]39153[/attach]

27.09.2015, 15:10

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist:

$\begin{eqnarray*} \ln(a+b) \neq \ln(a)+\ln(b) \end{eqnarray*}$

27.09.2015, 15:16

johnny94

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, schon mal vielen Danke. Ich hoffe ich komme jetzt selber drauf.

27.09.2015, 15:19

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar - falls nicht, sag Bescheid.

27.09.2015, 15:34

johnny94

Auf diesen Beitrag antworten »

Bin noch nicht auf die Lösung gekommen.

Kann ich das am Anfang so herausheben?

[attach]39154[/attach]

27.09.2015, 15:38

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.

Anzeige

27.09.2015, 15:52

johnny94

Auf diesen Beitrag antworten »

Wollte eigentlich 2^2 schreiben passt aber trotzdem nicht, nehme ich an.

[attach]39155[/attach]

27.09.2015, 15:56

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ergibt doch ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} 2^x(2^2+2^3)=4\cdot 2^x + 8 \cdot 2^x \end{eqnarray*}$

Wir haben aber den Term:

$\begin{eqnarray*} 4^{x+1}+16^{x-1} \end{eqnarray*}$

27.09.2015, 16:19

johnny94

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe es auf, komme einfach nicht dahinter und werde daher nochmal ein paar Schritte zurück machen. Ich bitte trotzdem um eine Lösung für diese Gleichung.

27.09.2015, 16:22

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich bitte trotzdem um eine Lösung für diese Gleichung.

Die hast du doch. Falls du eine Komplettlösung meinst, so wirst du diese nicht bekommen. Beachte dazu das Boardprinzip.

Mache doch mal folgendes:

$\begin{eqnarray*} 4^{x+1}+16^{x-1}=a\cdot 4^x+b\cdot 16^x \end{eqnarray*}$

Nun ersetze a und b durch passende Zahlen.

27.09.2015, 16:48

johnny94

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok bin neu hier, aber kann ich verstehen sonst würde sich hier wahrscheinlich jeder seine Hausaufgaben machen lassen.

Das wäre dann $\begin{eqnarray*} 4\cdot4^{x}+16^{-1}\cdot 16^{x} \end{eqnarray*}$ oder?

27.09.2015, 16:51

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Dann schreibe mal $\begin{eqnarray*} 16^{-1} \end{eqnarray*}$ als Bruch und $\begin{eqnarray*} 16^x \end{eqnarray*}$ also Potenz einer Potenz mit der Basis 4.

27.09.2015, 16:58

johnny94

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte dann glaube ich so stehen? $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4^{4} }\cdot 4^{4*x} \end{eqnarray*}$

27.09.2015, 17:01

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein:

$\begin{eqnarray*} 4^4 \neq 16 \end{eqnarray*}$

Da brauchen wir wohl eher die 2 als Exponent, also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{16}\cdot 4^{2x} \end{eqnarray*}$

Nun wenden wir das Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} (a^m)^n=a^{mn} \end{eqnarray*}$ auf den 2. Faktor an. Kannst du das einmal machen?

27.09.2015, 17:02

johnny94

Auf diesen Beitrag antworten »

Hoppla das sollte eigentlich selbst mir nicht passieren.

27.09.2015, 17:05

johnny94

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du so? $\begin{eqnarray*} (\frac{4^{x} }{4})^{2} \end{eqnarray*}$

27.09.2015, 17:08

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja - wir können den Bruch ruhig als Faktor lassen. Unsere Gleichung lautet nun also:

$\begin{eqnarray*} 4\cdot 4^x+\frac{1}{16}\cdot (4^x)^2=1064960 \end{eqnarray*}$

Nun substituieren wir. Also:

Sei $\begin{eqnarray*} 4^x=z \end{eqnarray*}$

Wie lautet dann deine Gleichung?

27.09.2015, 17:14

johnny94

Auf diesen Beitrag antworten »

Müsste normalerweise so aussehen. $\begin{eqnarray*} 4\cdot z+ \frac{1}{16}\cdot (z)^{2}=1064960 \end{eqnarray*}$

27.09.2015, 17:15

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig - die Klammer um das z brauchen wir natürlich nicht.

Na dann - pq-Formel (oder anderes Verfahren) anwenden.

27.09.2015, 17:23

johnny94

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der pq Formel kommen ja zwei Lösungen raus, wie weiß ich da welche ich nehmen muss?

27.09.2015, 17:23

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lauten deine Lösungen?

27.09.2015, 17:24

johnny94

Auf diesen Beitrag antworten »

L = {4096, -4160)

27.09.2015, 17:27

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Nun kommt die Resubstitution. Wir haben ja gesagt:

Sei $\begin{eqnarray*} 4^x=z \end{eqnarray*}$

Nun ersetzen wir z durch unsere gefundenen Lösungen um x zu berechnen. Wir erhalten also die beiden Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 4^x=4096 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4^x=-4160 \end{eqnarray*}$

Eine Gleichung wird nun keine Lösung für x geben (welche?), die andere kannst du (z.B. durch logarithmieren) nach x auflösen.

27.09.2015, 17:33

johnny94

Auf diesen Beitrag antworten »

Die positive. Danke du hast mir wirklich sehr geholfen und danke dass du so geduldig mit mir warst. Hab mir da ein für meine Verhältnisse zu schweres Bsp. rausgesucht.

27.09.2015, 17:40

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Die positive.

Die liefert natürlich dein x=6

Zitat:

Danke du hast mir wirklich sehr geholfen und danke dass du so geduldig mit mir warst.

Gern geschehen.

Zitat:

Hab mir da ein für meine Verhältnisse zu schweres Bsp. rausgesucht.

Macht doch nichts. Nun haben wir gleichzeitig die Potenzgesetze und das Verfahren der Substitution (welches in der Mathematik immer wieder mal auftaucht) wiederholt/geübt. Dazu ist dieses Forum ja da.

Deine Einstellung am Anfang es erstmal selbst zu versuchen fand ich übrigens sehr lobenswert. Freude

Freude

Viel Spaß hier weiterhin im Board.

Wink

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »