Rechnen mit bed. Erwartung/ Martingale

27.09.2015, 15:58

gessi

Rechnen mit bed. Erwartung/ Martingale

Hallo,

ich hänge beim Lernen für das Thema stochastische Prozesse irgendwie in meinen Lücken bei den Basics fest... folgendes Beispiel hatten wir:

$\begin{eqnarray*} (X_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ unabhängige ZV mit $\begin{eqnarray*} X_n \in L^1(\Omega) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(X_n)=0 ~\forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_n := \sigma(X_k: k \leq n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_0 := 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} S_n := \sum_{i=1}^{\infty} X_i,~n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_0 := \lbrace \emptyset, \Omega \rbrace \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} (S_n)_{ n\in \mathbb{N}_0} \end{eqnarray*}$ ein Martingal bzgl. $\begin{eqnarray*} (\mathcal{F})_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ , da ...
Ok, Messbarkeit und in $\begin{eqnarray*} \mathcal(L)^1 \end{eqnarray*}$ verstehe ich. Jetzt is also noch z.z. $\begin{eqnarray*} E(S_n|\mathcal{F}_m) = S_m ~\forall n \geq m \end{eqnarray*}$

In der Vorlesung wurde das wie folgt bewiesen:
$\begin{eqnarray*} E(S_n|\mathcal{F}_m) = E(S_n-S_m+S_m|\mathcal{F}_m) = E(S_n-S_m|\mathcal{F}_m) + S_m <br /> =E\left(\sum_{i=m+1}^{n}X_i|\mathcal{F}_m\right) + S_m = E\left(\sum_{i=m+1}^{n}X_i\right) + S_m = S_m \end{eqnarray*}$

Der erste Schritt ist klar (Nulltrick), beim zweiten Schritt ist aber schon mein Problem: Ich vermute mal, dass grundsätzlich die Linearität der bed. Erwartung dahinter steckt, also $\begin{eqnarray*} E(S_n-S_m+S_m|\mathcal{F}_m) = E(S_n-S_m|\mathcal{F}_m) + E(S_m|\mathcal{F}_m) \end{eqnarray*}$ .
Wie man von $\begin{eqnarray*} E(S_m|\mathcal{F}_m) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} S_m \end{eqnarray*}$ kommt, ist mir aber nicht klar. Das einzige, was mir einfällt, ist $\begin{eqnarray*} E(X|\mathcal{G})=E(X) \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} X, \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ unabh. - allerdings kann ich nicht sagen, ob sie das sind (und wenn ja, wieso - irgendwie wegen der Definition von $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ ?).

27.09.2015, 16:21

1nstinct

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechnen mit bed. Erwartung/ Martingale
Hi,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} E(S_n-S_m+S_m|\mathcal{F}_m) = E(S_n-S_m|\mathcal{F}_m) + E(S_m|\mathcal{F}_m) \end{eqnarray*}$ .

Genau.
Da $\begin{eqnarray*} S_m\, \mathcal F_m \end{eqnarray*}$ - messbar ist, gilt $\begin{eqnarray*} E(S_m|\mathcal{F}_m)=S_m \end{eqnarray*}$ .

27.09.2015, 16:31

gessi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

danke schonmal!
Steckt da jetzt dahinter, dass durch die $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_m \end{eqnarray*}$ -Messbarkeit automatisch Unabhängigkeit gegeben ist (in dem Fall: wieso?) oder eine andere als die genannte Rechenregel?

27.09.2015, 16:36

1nstinct

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Unabhängigkeit ist Unsinn. Dann wäre der Ewert doch 0.

Alle Informationen, die man für $\begin{eqnarray*} S_m \end{eqnarray*}$ benötigt sind doch in $\begin{eqnarray*} \mathcal F_m \end{eqnarray*}$ enthalten. Der Wert von $\begin{eqnarray*} S_m \end{eqnarray*}$ ist also, wenn man $\begin{eqnarray*} \mathcal F_m \end{eqnarray*}$ gegeben hat, bekannt.

27.09.2015, 20:48

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Einen Moment habe ich gestutzt, aber nach den Ausführungen ist wohl klar, dass nicht $\begin{align*} S_n := \sum_{i=1}^{\infty} X_i \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} S_n := \sum_{i=1}^n X_i \end{align*}$ gemeint ist. Augenzwinkern

28.09.2015, 08:50

1nstinct

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, vielen Dank HAL, das hatte ich übersehen. Das ist so die Standardaufgabe zu Martingalen, da habe ich zu schnell drübergelesen unglücklich

28.09.2015, 19:48

gessi

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ihr zwei!

Ich habe in meinem Mitschrieb zwar eine Summe bis unendlich stehen, aber nur einmalig und es macht eigentlich auch ohne n nicht wirklich Sinn - da habe ich wohl einen Schreibfehler gemacht.

Zitat:

Alle Informationen, die man für $\begin{eqnarray*} S_m \end{eqnarray*}$ benötigt sind doch in $\begin{eqnarray*} \mathcal F_m \end{eqnarray*}$ enthalten. Der Wert von $\begin{eqnarray*} S_m \end{eqnarray*}$ ist also, wenn man $\begin{eqnarray*} \mathcal F_m \end{eqnarray*}$ gegeben hat, bekannt.

Stimmt, sowas steht doch sogar in unserem Skript Ups

Bin da nur irgendwie nicht drauf gekommen, dass ich das (so) anwenden könnte...

28.09.2015, 19:53

1nstinct

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann weisst du ja sicher jetzt auch, warum

Zitat:

$\begin{eqnarray*} E\left(\sum_{i=m+1}^{n}X_i|\mathcal{F}_m\right) = 0 \end{eqnarray*}$

ist

28.09.2015, 20:14

gessi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte mir das so erklärt, dass für i > m (was mit einem bei i+1 beginnenden Index ja der Fall ist) die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_m \end{eqnarray*}$ unabhängig sind und daher gilt $\begin{eqnarray*} E(X_i|\mathcal{F})=E(X) \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} E(X_n) \end{eqnarray*}$ ist ja nach Voraussetzung 0.

28.09.2015, 20:19

1nstinct

Auf diesen Beitrag antworten »

, Gruß

28.09.2015, 20:35

gessi

Auf diesen Beitrag antworten »

Juhu, ein Erfolgserlebnis am Abend - danke smile

Neue Frage »

Antworten »

Rechnen mit bed. Erwartung/ Martingale

Verwandte Themen