zu Zeigen: nabla*nabla(v)=laplace v

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Deranda Auf diesen Beitrag antworten »
zu Zeigen: nabla*nabla(v)=laplace v
Meine Frage:
Hallo zusammen,

meine Frage kommt in Zusammenhang mit Strömungsmechanik:
Dabei ist v ein beliebiges Vektorfeld und nabla der Nabla-Operator

zu Zeigen ist:
nabla*nabla(v) = laplace(v)

zum einen hat da jemand hingeschrieben:
div(nabla(v)).
Das ergibt für mich zB gar keinen Sinn, da v ein Vektorfeld ist wäre das ja viel eher:
nabla*div(v) und nicht umgekehrt!
wie dem auch sei. Der jemand, den ich auch leider nicht fragen kann schrieb folgendes auf:
div(nabla(v))=(e_i * d_i)*(d_j * e_k * e_jk)
e_i und e_k als Einheitsvektoren und e_jk als Einheitstensor.

seit wann ist nabla(v) über den Einheitstensor definiert?

vielen dank für eure Ideen und Ansätze im Vorraus

Meine Ideen:
Meiner Meinung nach würde das so aussehen:

nabla*nabla(v) = (d_i * e_i) * (d_i * v_i)
= (d_i)^2 * v_i * e_i
= laplace(v_i * e_i)
= laplace(v)
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zu Zeigen: nabla*nabla(v)=laplace v
Es gibt bei dir ein Missverständnis. In der Gleichung ist mit dem linken die Divergenz gemeint, mit dem rechten der Gradient. Die Operatoren werden auf ein Vektorfeld so angewendet, dass jede Komponente als Skalar einzeln betrachtet wird, denn der Laplace-Operator ist ein skalarer Operator. Wenn man dies explizit aufschreibt mit den Einheitsvektoren , so sieht das so aus:


Die ganze Gleichung also:


oder mit div und grad:


Damit sollte die Lösung der Aufgabe hoffentlich klar sein.
Deranda Auf diesen Beitrag antworten »

aber




ist meiner Meinung nach das Richtige

ich glaube das Missverständnis liegt in der Sache:
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann schon dimensionsmäßig nicht stimmen:

ist ein Skalarfeld, wie willst du darauf die Divergenz anwenden? unglücklich

Nein, nein - so wie es RavenOnJ darsgestellt hat, ist es schon ganz richtig. Er hat sich höchstens beim LaTeX etwas verschrieben und meint statt sicher .
Deranda Auf diesen Beitrag antworten »

ist ja ein Operator, der zum einen für die DIvergenz beim Vektorfeld und zum anderen als Gradient für ein Skalafeld.

Von daher ist
schon möglich, bedeutet nur etwas anderes.
nämlich:


aber ich hab das jetzt soweit verstanden^^

die Beweisführung mit:
zu zeigen

ist einfach


Ihr habt mir trotzdem gut geholfen. Vielen Dank dafür smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Deranda
ist ja ein Operator, der zum einen für die DIvergenz beim Vektorfeld und zum anderen als Gradient für ein Skalafeld.

Das mit der Divergenz kenne ich anders, deren Operator ist nicht , sondern (mit Punkt), das ist ein Unterschied. unglücklich

Für ein Vektorfeld kennzeichnet (also ohne Punkt dazwischen) einen Tensor 2.Stufe.

Zitat:
Original von Deranda

Und nochmal Nein, allenfalls ist .
 
 
Deranda Auf diesen Beitrag antworten »

welche form hat denn der Tensor?



so?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Von derartigen Symboliken weiß ich nichts (hab das letzte Mal vor über 20 Jahren mit sowas zu tun gehabt). Die Ausführungen von RavenOnJ waren doch recht schlüssig.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Er hat sich höchstens beim LaTeX etwas verschrieben und meint statt sicher .


So isses Augenzwinkern .
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