Bewegungen klassifizieren

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yellowman Auf diesen Beitrag antworten »
Bewegungen klassifizieren
Hallo miteinander, ich habe folgende Abbildung gegeben und soll untersuchen ob sie eine Bewegung ist und falls sie eine ist den geometrischen Typ und die zugehörigen Parameter bestimmen (z.B. Bei Verschiebung den Verscheibungsvektor) und die Fixpunkte der Bewegung.



Meine Ideen:

Es wird geschaut ob es sich bei

um eine Diagonalmatrix handelt. Demnach muss geschaut werden ob A^tA=Id gilt.
Ich habe das einmal nachgerechnet und es handelt sich um eine Bewegung.

Nun muss ich schauen ob es sich um eine eigentliche oder um eine uneigentliche Bewegung handelt. Dies wird überprüft indem man die Determinante der Matrix A bestimmt. Ist detA=-1 dann ist es eine uneigentliche Bewegung. Kommt bei detA=1 heraus handelt es sich um eine eigentliche Bewegung.

Ich habe es einmal nachgerechnet und erhalte detA=-1 und demnach ist es eine uneigentliche Bewegung. Nun sollen noch weitere Sachen untersucht werden. Ich wüsste noch wie man die Fixpunkte der Abbildung bestimmt und zwar indem man
setzt. Muss ich das als nächstes machen oder wie geht man bei sollchen Aufgaben weiter vor. Mir fehlt ehrlich gesagt der Leitfaden bei den Aufgaben.

Kann mir jemand helfen?
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wenn du noch den Fixvektor bestimmen möchtest, musst du hier ein Gleichungssystem lösen. Allerdings fehlen in deiner letzten Gleichung einige positive Vorzeichen, da du offenbar die Matrix A mit dem Vektor multipliziert hast.

sollte auch einen Vektor ergeben. Augenzwinkern

Eine Bewegung ist doch definiert als eine affine Isometrie, oder??
Eine affine Abbildung hat die Form

, wobei ein Verschiebungsvektor ist. Deine Abbildung ist also affin. Man müsste doch lediglich die Isometrie dieser Abbildung nachweisen, also:

, wobei d hier den euklidischen Abstand zwischen den Beiden Vektoren darstellen soll? verwirrt
Mit anderen Worten formuliert: Die Abbildung f ist "abstandsinvariant", also isometrisch.

Viele Grüße
Widderchen
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Widderchen, ich erhalte bei dem LGS für die Fixpunkte folgendes LGS:





Wenn ich das in meinen Taschenrechner eintippe erhalte ich





Das ist nun der Fixpunkt. Es handelt sich also um keine Fixpunktgerade oder Fixpunktebene.
Nun soll ich diese Bewegung weiter untersuchen. Mir fehlt ehrlich gesagt das konkrete Vorgehen dabei.

Erstmal der Unterschied zwischen uneigentlicher und eigentlicher Bewegung.

- uneigentliche Bewegung (Ebenenspiegelung, Gleitspiegelung, Drehspiegelung oder Punktspiegelung)
- eigentliche Bewegung (Verschiebung, Drehung oder Schraubung)

In dem Fall sind wir bei der uneigentlichen Bewegung die folgende 4 Fälle annehmen kann
Was sagt mir das denn nun das wir einen Fixpunkt haben. Ist es dann eine Punktspiegelung?

Unabhängig ob eigentliche oder uneigentliche Bewegung. Sollte man anschließend immer die Fixpunkte bestimmen nachdem man charakterisiert hat um welchen Typ von Bewegung es sich handelt?

Danke und viele Grüße
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wenn diese Abbildung nur einen Fixvektor besitzt (also nur einen Vektor, der auf sich selbst abgebildet wird) und du zusätzlich herausgefunden hast, dass diese Abbildung eine uneigentliche Bewegung ist, dann kann ja nur eine der vier genannten Spiegelungen in Frage kommen:

Ebenen- , Gleit - , Dreh- oder Punktspiegelung

Von diesen vier genannten kannst du - wenn ich mich nicht irrre - zwei Spiegelungen direkt ausschließen, da du nur einen Fixvektor (und keine Fixebene oder Fixgerade) vorliegen hast. Welche Spiegelungen kannst du ausschließen?

Ich hoffe, dieser Beitrag ist hilfreich. smile

HALT!!! Das von dir aufgestellte Gleichungssystem ist leider falsch.

Viele Grüße
Widderchen
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Widderchen, da habe ich tatsächlich Mist gemacht. Das LGS muss lauten:





Wenn ich mich nicht vertan habe ist dieses LGS nicht lösbar. Damit existiert kein Fixebene,Fixgerade oder Fixpunkt. Nun bin ich ehrlich gesagt etwas verwirrt. Es müsste doch ein Fixpunkt/gerade/ebene existieren schon aus dem Grund weil eine der Form Ebenenspiegelung, Gleitspiegelung, Drehspiegelung oder Punktspiegelung einen Fixpunkt voraussetzt oder täusche ich mich da?

Wie geht es nun weiter bzw. was sagt mir das nun?

Viele Grüße
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nun wo erstmal der Fehler liegt. Die Determinante von A ist detA=1 damit handelt es sich um eine eigentliche Bewegung. Damit kann es entweder eine Verschiebung, Drehung oder Schraubung sein.

Da ich gezeigt habe das keine Fixpunkte existieren kann ich die Drehung ausschließen oder?
 
 
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe deine Rechnungen überprüft und sie sind beide richtig! Freude

Damit handelt es sich also nun um eine eigentliche Bewegung ohne Fixvektor! Welcher der beiden Kandidaten (Schraubung oder Parallelverschiebung) kommt dann nur noch in Frage?? Die Drehung hat trivialerweise den Drehpunkt als Fixpunkt und kann somit ausgeschlossen werden. Freude

Viele Grüße
Widderchen
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, sind es bei der eigentliche Bewegung dann insgesamt 4 Fälle die auftreten können und die zu untersuchen sind? (Parallelverschiebung, Punktspiegelung, Drehung oder Schraubung) oder warum schreibst du nun
"Welcher der beiden Kandidaten (Punktspiegelung oder Parallelverschiebung) kommt dann nur noch in Frage?"

Da es keine Fixpunkte gibt würde ich Parallelverschiebung sagen aber sicher bin ich mir dabei auch nicht.
Gibt es bei dieser kompletten Klassifizierung kein Schema das man abarbeiten kann?

Ich muss auch noch Drehwinkel und Drehachse bzw. Ebene bestimmen an der gespiegelt wird.

Hilft mir das nicht irgendwie weiter das ich weiß das die lineare Abbildung A bijektiv ist (da )?

Vielen Dank
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du hattest in deinem zweiten Post nur drei Formen der eigentlichen Bewegungen genannt (Verschiebung, Drehung oder Schraubung) . Wahrscheinlich habe ich mich verlesen. Big Laugh
Die Drehung und damit auch Punktspiegelung kann man gänzlich ausschließen, da diese einen Fixvektor besitzt, nämlich den Drehpunkt selbst.

Ja, die Parallelverschiebung besitzt keinen Fixpunkt, da der Verschiebungsvektor nicht der Nullvektor ist. Das ist die gesuchte eigentliche Bewegung. Freude

Dass die lineare Abbildung bijektiv ist, ist ebenfalls ein Kriterium für die Definition einer Bewegung, die ich vergessen hatte zu erwähnen. Siehe dir dazu auch die Wikipedia-Seite an:

https://de.wikipedia.org/wiki/Bewegung_%28Mathematik%29

Musst du wirklich den Drehwinkel einer Parallelverschiebung bestimmen??? verwirrt Big Laugh
Ich denke wohl eher nicht. Außerdem liegt hier keine Drehung vor. Augenzwinkern

Viele Grüße
Widderchen
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt also nochmal. Es handelt sich um eine eigentliche Bewegung und es existiert kein Fixpunkt/vektor/ebene. Damit können die Fälle eintreten: Parallelverschiebung, Drehung, Schraubung. Die Punktspiegelung ist ein Sonderfall der Drehung.

Auf Wikipedia steht: Drehungen wie auch Drehspiegelungen verfügen stets über Fixpunkte

Da keine Fixpunkte existieren kann man sagen dases keine Drehung ist warum kann man die Punktspiegelung damit auch ausschließen?

Damit muss es eine Schraubung sein.


Was müsste ich denn machen um zu testen ob es eine Drehachse bzw. Drehwinkel gibt und was könnte ich weiteres darauß folgern?

Danke
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Drehachse mit einem Drehwinkel können auch nur auftauchen wenn es sich um eine eigentliche Bewegung handelt also detA=1 gilt. Das muss schonmal die Bedingung für eine Drehachse bzw. Drehwinkel sein?
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Nach langer Recherche bin ich nun darauf gekommen das sowohl eine eigentliche als auch uneigentliche Bewegung eine Drehachse und Drehwinkel besitzen kann.

Bei der eigentlichen Bewegung in den Fällen Drehung.
Bei der uneigentlichen Bewegung in dem Fall der Drehspiegelung. Das müssten die beiden Fälle sein in der man eine Drehachse und Drehwinkel berechnen kann.

Das geschieht dann indem man den Eigenvektor zum Eigenwert 1 oder -1 bestimmt je nachdem welche Bewegung es ist. Der Eigenvektor ist dann die Drehachse.

Der Drehwinkel ist dann bei der eigentlichen Bewegung
Der Drehwinkel bei der uneigentlichen Bewegung ist dann

Habe ich das richtig recherchiert?



Nun nochmal das ganze revue passieren und hoffentlich kannst du mir eine kleine Anleitung gegeben wie ich die Aufgabe dazu bearbeiten soll.
Eigentliche Bewegung: Sind wir in diesem Fall dann kann die Bewegung
eine Parallelverschiebung
eine Drehung um eine beliebige Achse im Raum
eine Schraubung sein.

Wie untersucht man nun diese weiteren Fälle?

Sind wir im Fall einer uneigentlichen Bewegung dann kann die Bewegung
eine Ebenenspiegelung
eine Gleitspiegelung
eine Drehspiegelung
eine Punktspiegelung sein.

Wie untersucht man auch hier die weiteren Fälle?

Grüße
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo yellowman,

ja, das ist soweit richtig, was du geschrieben hast, mit Ausnahme der beiden Formlen, da muss jeweils stehen (siehe auch Link unten). Freude
Du hattest bereits versucht den Eigenvektor zum Eigenwert 1, also den Fixvektor dieser eigentlichen Bewegung zu bestimmen. Dieser wäre deine Drehachse gewesen. Da dein Gleichungssystem allerdings keine Lösung hat, weist diese Bewegung keine Drehachse bzw. keinen Drehpunkt auf.

Aus diesem Grund kam ich auch zu der Annahme, dass diese Bewegung auch keine Schraubung ist, da auch Schraubungen Fixpunktmengen besitzen. Das impliziert, dass die Bewegung nur noch eine Parallelverschiebung sein kann.

Hier ist nochmal ein Link der Universität Regensburg. Auf dieser Seite werden einige Rechenbeispiele zu dieser Thematik vorgeführt:

http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten...kapVI_para3.pdf

Viele Grüße
Widderchen
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Widderchen, laut Lösung soll es sich bei dieser Aufgabe um eine Schraubung handeln. Den Lösungsweg habe ich leider nicht.

"Aus diesem Grund kam ich auch zu der Annahme, dass diese Bewegung auch keine Schraubung ist, da auch Schraubungen Fixpunktmengen besitzen."

Die Schraubung besitzt auch keine Fixpunkte wie auch die Parallelverschiebung. Wie soll man ab hier denn weiter argumentieren?

Das Script hat eine kleine Zusammenfassung von den Fällen (Seite 7). Das ist wirklich sehr gut dankeschön. Dort ist auch aufgelistet das die Schraubung keine Fixpunkte besitzt.

Danke
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich hatte mich erneut in der Zeile geirrt. geschockt

Selbstverständlich handelt es sich bei dieser Bewegung um eine Schraubung, da die Abbildungsmatrix einer Parallelverschiebung nur auf der Hauptdiagonalen und im oberen Bereich Einträge besitzt, die nicht Null sind. Außerdem dachte ich permanent, dass die Windungsachse bei der Schraubung eine Fixpunktgerade sei, was natürlich absoluter Unsinn ist. Big Laugh

Viele Grüße
Widderchen
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Widderchen,

"Selbstverständlich handelt es sich bei dieser Bewegung um eine Schraubung, da die Abbildungsmatrix einer Parallelverschiebung nur auf der Hauptdiagonalen Einträge besitzt, die nicht Null sind."

Also wenn Matrix A auf der Hauptdiagonalen nur Werte besitzt die ungleich Null sind (Der Rest sind Nullen) dann handelt es sich automatisch um eine Parallelverschiebung? Das heißt, hat man eine sollche Bewegung vorliegen kann man direkt ohne die Fixpunkte zu bestimmen sagen um welchen Typ der Bewegung es sich handelt?

Kurz noch, warum ist dem so?

Danke
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich hatte die Aussage im letzten Post nochmal korrigiert. Das sollte so jetzt stimmen.

Wenn man sich bspw. eine Parallelverschiebung im 2-Dimensionalen betrachtet, dann sieht die Abbildungsgleichung folgendermaßen aus:



wobei der Verschiebungsvektor lautet.

Dieses Beispiel findest du auch unter folgendem Link:

https://books.google.de/books?id=bZiSBwA...0matrix&f=false

Die Berechung der Fixpunkte sowie der Determinante der Abbildungsmatrix ist wohl nicht schwierig und liefert dir eine konkrete Aussage über die Bewegungsform.

Eine Schraubung ist eine Überlagerung bzw. Verknüpfung aus Drehung und Verschiebung, sodass die Abbildungsmatrix eine Form wie die im Beispiel aufweisen kann.

Drehmatrizen im dreidimensionalen Raum haben bspw. diese Form (siehe Link):

https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix

Ich hoffe, ich konnte dir damit weiterhelfen.

Viele Grüße
Widderchen
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Widderchen,

das ist mir alles soweit klar. Die uneigentliche Bewegung () ist sehr leicht mithilfe der Fixpunkte zu klassifizieren. Dank der Tabelle die in dem von dir besagten Script ist das alles kein Problem mehr. smile
Bei der eigentlichen Bewegung () taucht nur noch die Ungenauigkeit bei einer Parallelverschiebung und Schraubung auf. Du schreibst das eine Parallelverschiebung im 2dimensionalen diese Form hat:


Hilft mir das auch im dreidimensionalen weiter? Ich meine in einer Prüfung kann ich ja nicht salopp sagen das wird schon eine Parallelverschiebung sein da es eine ähnliche Form wie eine Parallelverschiebung im 2dimensionalen hat. Ich denke da bekomme ich einen Satz heiße Löffel Big Laugh

Der Rest ist mir aber nun klar. Die Bestimmung der Drehachse und Drehwinkel funktioniert dann je nach Bewegung indem man den Eigenraum von dem jeweiligen Eigenwert bestimmt

Eigentliche Bewegung (Drehung): Eigenraum zum Eigenwert bestimmen
Uneigentliche Bewegung (Drehspiegelung): Eigenraum zum Eigenwert bestimmen
Der erhaltene Eigenvektor ist dann der Vektor der Drehachse.

Drehwinkel eigentliche Bewegung (Drehung):
Drehwinkel uneigentliche Bewegung (Drehspiegelung):


Nach der Frage müsste eigentlich alles geklärt sein und ich danke dir für deine tolle Hilfe.

Gruß Wink
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja, eine Parallelverschiebung im Dreidimensionalen ist eine affine Transformation und kann entsprechend durch eine erweiterte 4x4-Matrix ausgedrückt werden. Siehe dir dazu auch die Seiten 20 und 21 ff. auf dem folgenden Link an Augenzwinkern :

http://www.math.kit.edu/iag2/~globke/media/koordinaten.pdf

Der Wikipedia-Artikel zum Thema "Lineare Vektorfunktionen" kann an dieser Stelle auch sehr hilfreich sein. Dort steht auch unter dem Abschnitt "Bewegungen", dass eine Schraubung eine Überlagerung bzw. Verknüpfung von Translation und Drehung ist (was ich auch schon im letzten Post erzählt hatte):

https://de.wikibooks.org/wiki/Ing_Mathem...ektorfunktionen

Solche Abbildungsmatrizen beschreiben eigentlich immer eine Schraubung. Drehungen und Verschiebungen sind nämlich Spezialfälle von Schraubungen, denn:

Eine Drehung erhältst du prinzipiell, wenn der vorgegebene Verschiebungsvektor der Nullvektor ist (sprich: es lerfolgt keine Verschiebung!) und die Abbildungsmatrix eine Drehmatrix ist (siehe Wikipedia-Link zur Drehmatrix).

Eine Verschiebung erhältst du, wenn die Abbildungsmatrix die bereits oben diskutierte Form annimmt plus eine zusätzliche Verschiebung durch einen Vektor vorgegeben ist.

Alle die von dir genannten Rechenschritte zur Untersuchung der Bewegung sind korrekt! Freude

Damit liegt dir auch eine angemessene Anleitung zur Bearbeitung solcher Aufgaben vor. Augenzwinkern

Viele Grüße
Widderchen
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Widderchen, ich habe noch eine weitere Aufgabe.

Untersuche die Bewegung

Bestimmen Sie dazu den geometrischen Typ, die zugehörigen Parameter (das wäre z.B. bei einer Verschiebung der Verschiebungsvektor) und die Fixpunkte.

Ich bin dabei folgendermaßen vorgegangen:

1) Geprüft ob es sich um eine Bewegung handelt. . Es handelt sich um eine Bewegung

2) Die Art der Bewegung untersucht also detA bestimmt. Es kommt dabei herauß also eine eigentliche Bewegung. Diese kann sein eine Parallelverschiebung, Drehung oder Schraubung.

3) Fixpunkte bestimmt. Es existieren keine Fixpunkte. Das heißt es kann keine Drehung sein. In Frage kommen nur noch Parallelverschiebung oder Schraubung.

Eine Schraubung besitzt eine Drehachse und Drehwinkel oder?
Eine Parallelverschiebung besitzt keine Drehachse und keinen Drehwinkel das weiß ich. Wie würde man bei einer Parallelverschiebung den Verschiebungsvektor bestimmen?

Wie prüft man nun weiter?

Danke
yellowman Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir noch jemand helfen?
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